2020届江苏省淮安市高三上学期期中数学(理)试卷

一、填空题

1. 难度：简单

设，则=__________________．

2. 难度：中等

设复数为虚数单位），若，则的值是__________．

3. 难度：简单

函数的值域为______.

4. 难度：简单

下列命题中的假命题有______.（填序号）

（1）.，（2），

（3）.，（4），

5. 难度：简单

若函数的最小正周期为，则的值是________．

6. 难度：中等

不等式的解为                        ．

7. 难度：简单

已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则__________．

8. 难度：简单

在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为___________.

9. 难度：中等

函数的零点个数为_____．

10. 难度：中等

设函数，（且），若，则不等式的解集为______.

11. 难度：简单

《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁“衰”得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮（）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”为______.

12. 难度：困难

已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是______．

13. 难度：简单

已知正数，，，满足，，则的最小值为______.

14. 难度：中等

已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值与最大值的和______.

二、解答题

15. 难度：中等

在三角形中，已知，.

（1）求角的值；

（2）若的面积为，求边的长.

16. 难度：中等

已知函数（，，），和是函数的图象与轴的2个相邻交点的横坐标，且当时，取得最大值2.

（1）求，，的值；

（2）将函数的图象上的每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.

17. 难度：困难

欲设计如图所示的平面图形，它由上、下两部分组成，其中上部分是弓形（圆心为，半径为，，），下部分是矩形.

（1）若，求该平面图形的周长的最大值；

（2）若，试确定的值，使得该平面图形的面积最大.

18. 难度：困难

已知函数，

（1）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围；

（2）若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.

19. 难度：困难

已知函数，其中.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）记函数的导函数是，若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围；

（3）设函数，是函数的导函数，若函数存在两个极值点，，且，求实数的取值范围.

20. 难度：困难

已知数列满足：（常数），.数列满足：.

（1）求的值；

（2）求出数列的通项公式；

（3）问：数列的每一项能否均为整数？若能，求出k的所有可能值；若不能，请说明理由.

21. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线仍为，求矩阵的逆矩阵.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知直线为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆的极坐标方程为，直线与圆交于两点，求弦的长.

23. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，为正方形内一点，它到边，的距离分别是1，2，平面，，是棱上一点，且，

（1）求直线与所成角的余弦值；

（2）求二面角的余弦值.

24. 难度：困难

现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：

设M_k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M₁＜M₂＜…＜M_n的概率为p_n．

（1）求p₂的值；

（2）证明：p_n＞．