湖北省荆门市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

直线在轴上的截距为（    ）．

A. B. C. D.

2. 难度：简单

圆心为，半径为的圆的方程为（    ）

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

抛物线的焦点坐标为（  ）

A.  B.

C.  D.

4. 难度：简单

我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（    ）

A.第2天 B.第3天 C.第4天 D.第5天

5. 难度：简单

是双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的一点，则直线的斜率之积为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知等差数列前项的和为，若，则（    ）

A.154 B.153 C.77 D.78

7. 难度：简单

已知直线，直线，且，则的值为（ ）

A.-1 B. C.或-2 D.-1或-2

8. 难度：中等

设等比数列的前项和为，若 则（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

已知抛物线的焦点为F，Q为抛物线上一点，连接并延长交抛物线的准线于点P，且点P的纵坐标为负数，若，则直线PF的方程为（     ）

A. B.

C.或 D.

10. 难度：中等

等差数列的前项和为，公差为，则（    ）

A.随的增大而减小

B.随的增大而增大

C.随的增大而增大

D.随的增大而增大

11. 难度：困难

数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：简单

设F是椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点，P是椭圆C上的点，圆x²＋y²＝与线段PF交于A，B两点，若A，B三等分线段PF，则椭圆C的离心率为（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

两条平行直线与间的距离为_______．

14. 难度：中等

已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是__________．

15. 难度：中等

已知圆上有且仅有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为________.

16. 难度：中等

数列的前项和为，且满足且，则的最小值为_____．

三、解答题

17. 难度：中等

已知双曲线的焦点为，且该双曲线过点．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若双曲线上的点满足，求的面积．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系中，设直线与圆交于不同两点.   

（1）求实数的取值范围；

（2）若圆上存在点C使得为等边三角形，求实数的值.

19. 难度：中等

已知是公比为整数的等比数列，，且成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

20. 难度：中等

已知直线y＝2x﹣m与抛物线C：y²＝2px（p＞0）交于点A，B．

（1）m＝p且|AB|＝5，求抛物线C的方程；

（2）若m＝4p，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．

21. 难度：困难

甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为 (n²－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元．

(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；

(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？

22. 难度：困难

已知分别为椭圆的左右焦点.

（1）当时，点为椭圆上一点且位于第一象限，若，求点的坐标；

（2）当椭圆焦距为2时，直线交椭圆交于两点，且，判断的面积是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.