湖南省长沙市2019-2020学年高二上学期第二次月考数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

椭圆的长轴长为（    ）

A.3 B.6 C.5 D.10

2. 难度：简单

知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知命题,则有（    ）

A. B.

C. D.

4. 难度：简单

已知f(x)＝x³＋3^x＋ln 3，则f′(x)为（    ）

A.3x²＋3^x B.3x²＋3^x·ln 3＋ C.3x²＋3^x·ln 3 D.x³＋3^x·ln 3

5. 难度：中等

已知，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

函数（且）与函数在同一个坐标系内的图象可能是(  )

A. B.

C. D.

7. 难度：简单

若圆与圆相内切，则＝（　 　）

A.1 B.-1 C. D.

8. 难度：简单

若角的终边在直线上且，又是终边上一点，且，则 (   )

A.2 B.-2 C.4 D.-4

9. 难度：中等

已知，且，函数，则“”“是在上单调递减”的（   ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

10. 难度：中等

等比数列的前项和为，公比为，若，，则（  ）

A. B.2 C. D.3

11. 难度：中等

给出下列语句：

①若α、β均为第一象限角，且α>β，且sinα>sinβ；

②若函数y=2cos的最小正周期是4，则a=；

③函数y=的周期是；

④函数y=sinx+sin的值域是．

其中叙述正确的语句个数为（  ）

A.0 B.1 C.2 D.3

12. 难度：简单

设双曲线的右焦点为，过且斜率为1的直线与的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题

13. 难度：简单

设向量=（，sinθ），=（cosθ，），其中θ∈（0，），若∥，则θ=______．

14. 难度：中等

过点(1,2)且垂直于直线的直线的一般式方程为___________.

15. 难度：简单

某物体作直线运动，其运动规律是s＝t²＋(t的单位：s，s的单位：m)，则它在第4 s末的瞬时速度应该为________ m/s.

16. 难度：中等

已知直线与抛物线交于A，B两点，点P为抛物线C上一动点，且

在直线l下方，则△PAB的面积的最大值为              .

三、解答题

17. 难度：中等

设函数．

（1）求函数的最大值和最小正周期；

（2）设、、为的三个内角，若，，求．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和．

20. 难度：中等

设平面向量.

（1）若，求的值；

（2）若函数，求函数f(x)的最大值，并求出相应的x值．

21. 难度：简单

某校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．

（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；

（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；

（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？

22. 难度：困难

椭圆中心为坐标原点O,对称轴为坐标轴,且过M（2，） ，N(,1)两点，

（I）求椭圆的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由．