2019届云南省昆明市高考模拟考试（第四次统测）理科数学

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A.0 B.1 C.2 D.3

2. 难度：简单

在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

已知等差数列的前项和为，且，，则（    ）

A.-3 B.-6 C.3 D.6

4. 难度：简单

已知双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，则的方程是（   ）

A. B.

C. D.

5. 难度：简单

（    ）

A.3 B.2 C. D.

二、填空题

6. 难度：中等

若，则（    ）

A. B. C. D.

三、单选题

7. 难度：简单

已知直线⊥平面，直线m⊂平面，则“∥”是“⊥m”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

8. 难度：中等

    函数的图像如图所示，则函数的图像可能是

A. B.

C. D.

9. 难度：简单

黄金矩形是宽（）与长（）的比值为黄金分割比的矩形，如图所示，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知椭圆，直线与的一个交点为，以为圆心的圆与轴相切，且被轴截得的弦长等于的焦距，则的离心率为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

四棱柱中，底面为正方形，顶点在底面上的射影为点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

设，，则的最小值是（    ）

A. B. C. D.1

四、填空题

13. 难度：简单

的展开式中的常数项为______．（用数字作答）

14. 难度：简单

在边长为6的等边三角形中，．则_____⋅

15. 难度：简单

能说明“已知，若对任意的恒成立，则在上，为假命题的一个函数_____⋅（填出一个函数即可）

16. 难度：困难

已知数列，，，则____．

五、解答题

17. 难度：中等

在中，为边上一点，，，，．

（1）求；

（2）求的面积．

18. 难度：中等

如图，三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的中点．

（1）求证：；

（2）若，为线段上一点，且，求二面角的大小．

19. 难度：中等

改革开放以来，我国农村7亿多贫困人口摆脱贫困，贫困发生率由1978年的97.5%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹，为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例．2012年至2018年我国贫困发生率的数据如下表：

年份（）	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
贫困发生率（%）	10.2	8.5	7.2	5.7	4.5	3.1	1.4

（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求至少有一个低于5%的概率；

（2）设年份代码，利用回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率的变化情况，并预测2019年贫困发生率．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

20. 难度：困难

设抛物线的焦点为，是上任意一点．

（1）证明：以线段为直径的圆与轴相切；

（2）若直线与交于，两点，且，求的值．

21. 难度：困难

已知函数．

（1）当时，若函数在，（）处导数相等，证明：；

（2）是否存在，使直线是曲线的切线，也是曲线的切线，而且这样的直线是唯一的，如果存在，求出直线方程，如果不存在，请说明理由．

22. 难度：简单

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），将曲线按伸缩变换公式，变换得到曲线.

（1）求的普通方程；

（2）直线过点，倾斜角为，若直线与曲线交于，两点，为的中点，求的面积．

23. 难度：简单

已知函数.

（1）设在平面直角坐标系中作出的图象，并写出不等式的解集．

（2）设函数，，若，求的取值范围．