2020届湖南省高三上学期第五次月考数学(理)试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则（   ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设全集，函数的定义域为，集合，则的子集个数为（   ）

A.7 B.3 C.8 D.9

3. 难度：中等

已知单位向量满足，则与的夹角为

A. B. C. D.

4. 难度：中等

已知实数满足，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”.题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示（单位：尺），问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（取整数）（    ）

A.441斛 B.431斛 C.426斛 D.412斛

6. 难度：中等

设函数，且其图像关于直线对称，则（   ）

A．的最小正周期为，且在上为增函数

B．的最小正周期为，且在上为增函数

C．的最小正周期为，且在上为减函数

D．的最小正周期为，且在上为减函数

7. 难度：简单

函数的图象大致是（     ）

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

“”是“直线的倾斜角大于”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

曲线在点处的切线与直线和所围成图形的面积(    )

A.1 B. C. D.

10. 难度：中等

如图，两个全等的直角边长分别为的直角三角形拼在一起，若，则等于（    ）

A. B.

C. D.

11. 难度：中等

已知函数，，，则的最小值等于（ ）．

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知函数，方程有四个不同的实数根，则的取值范围为（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

在中，，，则角的大小为__________．

14. 难度：简单

设 ，若，则___________.

15. 难度：中等

在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于_________.

16. 难度：困难

已知三棱锥的四个顶点都在表面积为的球面上，底面是边长为的等边三角形，则三棱锥体积的最大值为____________.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，角 的对边分别为，且.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的面积.

18. 难度：中等

已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列前项和为.

19. 难度：中等

如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为2的正三角形， ,.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值.

20. 难度：中等

已知某民族品牌手机生产商为迎合市场需求，每年都会研发推出一款新型号手机.该公司现研发了一款新型智能手机并投入生产，生产这款手机的月固定成本为80万元，每生产1千台，须另投入27万元， 设该公司每月生产千台并能全部销售完，每1千台的销售收入为万元，且.为更好推广该产品，手机生产商每月还支付各类广告费用20万元.

（Ⅰ）写出月利润（万元）关于月产量（千台）的函数解析式；

（Ⅱ）当月产量为多少千台时，该公司在这一型号的手机生产中所获月利润最大?

21. 难度：中等

如图，在多面体中，四边形为矩形，，均为等边三角形，，．

（Ⅰ）过作截面与线段交于点，使得平面，试确定点的位置，并予以证明；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．

22. 难度：困难

设函数，其中．

（Ⅰ）试讨论的单调性；

（Ⅱ）若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得 ，试判断与的大小关系并给出证明.