湖南省长沙市2019-2020学年高二下学期入学考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若集合，则（  ）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：简单

某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为(  )

A. 800    B. 1 000    C. 1 200    D. 1 500

3. 难度：简单

如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（    ）

A. 2    B. －2    C. 2,－2    D. 2,0,－2

4. 难度：简单

函数f（x）的图象大致为（  　　）

A. B.

C. D.

5. 难度：中等

已知β＜α，若cos（α﹣β），sin（α+β），则sin2β＝（　  　）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

三棱锥的所有棱长都相等，别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(  )

A. B. C. D.

7. 难度：简单

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁＞0，公差d＜0，a₁₀S₂₁＜0，则S_n最大时，n的值为（　　  ）

A.11 B.10 C.9 D.8

8. 难度：简单

在△ABC中，，若，则λ+μ＝（　  　）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知a＞0，b＞0且2，则3a+b的最小值为（  　　）

A.12 B. C.15 D.10+2

11. 难度：中等

若数列对任意满足，下面给出关于数列的四个命题：①可以是等差数列，②可以是等比数列；③可以既是等差又是等比数列；④可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

12. 难度：困难

已知定义在上的函数，且,若方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知实数，满足，则目标函数的最大值为________.

14. 难度：简单

是半径为的圆周上一个定点，在圆周上等可能任取一点，连接，则弦的长度超过的概率是         ；

15. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则等于_____．

16. 难度：中等

设f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b∈R，ab≠0），若f（x）对一切x∈R恒成立，给出以下结论：

①；

②；

③f（x）的单调递增区间是；

④函数y＝f（x）既不是奇函数也不是偶函数；

⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，其中正确结论为_____

三、解答题

17. 难度：中等

茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学单位时间内引体向上的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．

（1）如果X＝8，求乙组同学单位时间内引体向上次数的平均数和方差；

（2）如果X＝9，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学单位时间内引体向上次数和为19的概率．

18. 难度：困难

已知数列{a_n}满足，且．

(1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

19. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcos（A）asin（B）＝0，且sinA，sinB，2sinC成等比数列．

（1）求角B；

（2）若a+c＝λb（λ∈R），求λ的值．

20. 难度：困难

如图，在四校锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，边长为4的正△PAD所在平面与平面ABCD垂直，点E是AD的中点，点Q是侧棱PC的中点．

（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；

（2）求证：PA∥平面BDQ；

（3）在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？

21. 难度：中等

已知圆关于直线对称，半径为，且圆心在第一象限．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若直线与圆相交于不同两点、，且，求实数的值．

22. 难度：困难

已知函数f（x），x∈R．

（1）若f（x）是偶函数，求实数a的值；

（2）当a＞0时，不等式f（sinxcosx）﹣f（4+t）≥0对任意的x∈恒成立，求实数t的取值范围；

（3）当a＞0时，关于x的方程在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．