2019届广东省高三5月适应性考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，集合，则集合（ ）

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

已知（其中为虚数单位），则的虚部为(  )

A. B. C. D.

3. 难度：简单

在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（  ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

若,是第三象限的角,则（ ）

A.  B.  C. 2 D. -2

5. 难度：简单

为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）

A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元

6. 难度：中等

的展开式的常数项是（ ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：

根据这两幅图中的信息，下列统计结论是不正确的是(  )

A. 样本中的女生数量多于男生数量

B. 样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量

C. 样本中的男生偏爱理科

D. 样本中的女生偏爱文科

8. 难度：中等

若椭圆的离心率为，则（    ）

A. B. C. D.或

9. 难度：简单

如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为　　

A. B.截面

C. D.异面直线与所成的角为

10. 难度：中等

设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（  ）

A.8 B.4 C.2 D.1

11. 难度：困难

已知函数有四个零点，则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点，线段的垂直平分线恰过点，则该双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知实数满足则的最大值是____．

14. 难度：中等

若函数是偶函数，则______.

15. 难度：困难

已知边长为1的正方体，点在平面内的正投影为点，则三棱锥的体积为______.

16. 难度：困难

设，其中.若对一切恒成立，则①；②；③既不是奇函数也不是偶函数；④的单调递增区间是；⑤存在经过点的直线与函数的图像不相交.以上结论正确的是________________.（写出所有正确结论的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

在中，内角对边的边长分别是，已知，．

（Ⅰ）若的面积等于，求；

（Ⅱ）若，求的面积．

18. 难度：困难

已知四棱锥，底面为菱形，,为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面．

（1）证明：；

（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求与平面所成角的正弦值．

19. 难度：困难

已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为.

（1）是否存在过点，斜率为的直线，使得抛物线上存在两点关于直线对称？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由；

（2）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

20. 难度：困难

设函数.

（1）证明：函数在单调递增；

（2）当时，恒成立，求整数的最小值.

21. 难度：中等

本小题满分13分）

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；

（3）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程（为参数），若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线．

（1）写出曲线的参数方程；

（2）设点，直线与曲线的两个交点分别为，求的值．

23. 难度：中等

已知函数，为不等式的解集.

（1）求集合；

（2）若，，求证：.