2020届湖南省长沙市高三第五次月考数学(理)试卷

一、单选题

1. 难度：中等

设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）

A.（﹣∞，2） B.（﹣∞，2] C.（2，+∞） D.[2，+∞）

2. 难度：简单

已知复数，若为纯虚数，则（   ）

A.5 B. C.2 D.

3. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（  ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

设函数，将的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原函数的图象重合，则的最小值是（   ）

A．      B．3      C．6      D．9

5. 难度：中等

若数列满足，且，则数列的第100项为（ ）

A.2 B.3

C. D.

6. 难度：简单

函数的图象的大致形状是

A. B.

C. D.

7. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，若输入，则输出（ ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（   ）种

A.27 B.36 C.33 D.30

9. 难度：中等

在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为（   ）

A. B.

C. D.

10. 难度：中等

已知函数的部分图象如图所示，若，，则的值为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

设双曲线的左焦点为，左顶点为，过作轴的垂线交双曲线于、两点，过作垂直于，过作垂直于，设与的交点为，若到直线的距离大于，则该双曲线的离心率取值范围是（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知函数与的图像有4个不同的交点，则实数的取值范围是（  ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为__________．

14. 难度：简单

已知展开式中含项的系数为45，则正实数a的值为_________

15. 难度：中等

设双曲线：的右焦点为，直线为双曲线的一条渐近线，点关于直线的对称点为，若点在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为__________．

16. 难度：中等

数列 满足，且数列的前n项和为，若实数满足对于任意都有，则的取值范围是____．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acosB+bcosA=2ccosC．

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC的周长为3，求△ABC的内切圆面积S的最大值．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂中为，在上，且，是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）若点是棱上一点，且，求的值．

19. 难度：中等

为弘扬民族古典文化，学校举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确给改选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率为；现记“该选手在回答完个问题后的总得分为”．

（1）求且的概率；

（2）记，求的分布列，并计算数学期望．

20. 难度：困难

已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点的直线与该椭圆交于两点，满足直线的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数在点处的切线方程为,且.

(Ⅰ)求函数的极值；

(Ⅱ)若在上恒成立，求正整数的最大值.

22. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线过点，倾斜角为．

（1）求曲线C的直角坐标方程与直线的参数方程；

（2）设直线与曲线C交于两点，求．

23. 难度：中等

设函数.

（1）解不等式；

（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.