江西省2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，则（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：简单

复数满足，则（   ）

A. B. C. D.

3. 难度：中等

已知平面内一条直线及平面，则“”是“”的（   ）

A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 难度：简单

公比不为的等比数列中，若，则不可能为（   ）

A.  B.  C.  D.

5. 难度：简单

已知一组样本数据点，用最小二乘法求得其线性回归方程为.若的平均数为，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

在平面直角坐标系中，已知，动点满足，则动点的轨迹方程是（  ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

已知二元一次不等式组表示的平面区域为，命题：点在区域内；命题：点在区域内. 则下列命题中，真命题是（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 难度：简单

已知的垂心为，且是的中点，则（  ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

圆上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率的取值范围是（  ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为（    ）   

A.  B.

C.  D.

11. 难度：中等

在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知实数，满足，则的值为（   ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

展开式的常数项为        ．（用数字作答）

14. 难度：中等

已知的半衰期为年（是指经过年后,的残余量占原始量的一半）.设的原始量为,经过年后的残余量为,残余量与原始量的关系如下:,其中表示经过的时间,为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时的残余量约占原始量的.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年.（已知）

15. 难度：中等

已知为抛物线上的两个动点，且，抛物线的焦点为，则面积的最小值为_________.

16. 难度：中等

中，角所对应的边分别为，若边上的高等于，当最大时，_________.

三、解答题

17. 难度：中等

已知等比数列的首项，前项和为，设，且数列为等比数列.

（1）求，的通项公式；

（2）若数列的前项和为，求的值.

18. 难度：中等

已知四棱柱中，底面为菱形，，为中点，在平面上的投影为直线与的交点.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值.

19. 难度：中等

某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额元）、专业二等奖学金（奖金额元）及专业三等奖学金（奖金额元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图（1）是统计了该校年名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这名学生在年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.

（Ⅰ）求这名学生中获得专业三等奖学金的人数；

（Ⅱ）若周课外平均学习时间超过小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列联表并判断是否有的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？

（Ⅲ）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生年获得的专业奖学金额为随机变量，求随机变量的分布列和期望.

20. 难度：中等

已知

（1）求的轨迹

（2）过轨迹上任意一点作圆的切线，设直线的斜率分别是，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，是否是定值，请说明理由，并加以证明.

21. 难度：困难

已知函数，且.

（1）求的值；

（2）当时，求证：.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（为极径，为极角）．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）若射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的值．