2020届湖南省长沙市高三第七次月考数学(文)试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知实数，满足（为虚数单位）则复数的共轭复数为（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

设曲线为双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

4. 难度：简单

如果函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调递增区间为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则、的值分别为（    ）

A.0，0 B.0，5 C.5，0 D.5，5

6. 难度：简单

《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积（底面的圆周长的平方高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

已知向量，，，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积为（    ）．

A.1 B.2 C. D.

8. 难度：中等

如图所示，在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，终边分别为射线和，射线，与单位圆的交点分别为，．若，则的值是（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（　　）

A.有最小值 B.有最大值 C.为定值3 D.为定值2

10. 难度：简单

为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总时间，收集了500名学生2019年12月课余使用手机的总时间（单位：小时）的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在区间，现在从课余使用手总时间在样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则的最小值为（    ）

A.16 B.12 C.20 D.10

12. 难度：困难

如图，函数（其中）与坐标轴的三个交点满足为的中点，，则的值为（　　）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知数列满足，且，则__________．

14. 难度：简单

已知直线与圆相交于，两点，且，则__________．

15. 难度：中等

在平行四边形中，，，，．沿把翻折起来，形成三棱锥，且平面平面，则该三棱锥外接球的体积为__________．

16. 难度：中等

设函数，函数，若函数恰有4个零点，则整数的最小取值为__________．

三、解答题

17. 难度：中等

已知公差不为零的等差数列，满足，且，，成等比数列．

（1）求的通项公式；

（2）在平面直角坐标系中，设，，，记以，，，四点为顶点的四边形面积为，求．

18. 难度：中等

如图所示，四棱柱中，底面为直角梯形，，，平面平面，，．

（1）求该四棱柱的体积；

（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知的内角，，的对边分别为，，，且满足．

（1）证明：；

（2）若，且的面积为，求．

20. 难度：困难

已知函数．

（1）若该函数在处的切线为，求的值；

（2）若该函数在，处取得极值，且，求实数的取值范围．

21. 难度：困难

已知椭圆的离心率为，与轴交于点，，过轴上一点引轴的垂线，交椭圆于点，，当与椭圆右焦点重合时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与直线交于点，是否存在定点和，使为定值．若存在，求、点的坐标；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知过点的直线的倾斜角为，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程并写出直线的一个参数方程；

（2）若直线和曲线交于、两点，且，求实数的值．

23. 难度：中等

设函数．

（1）若函数有最小值，求的取值范围；

（2）若关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围．