2020届云南省陆良县高三上学期第二次适应性考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若集合，，则（    ）

A. B.

C. D.或

2. 难度：简单

已知为实数，若复数为纯虚数，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

的值等于(    )

A. B. C. D.

4. 难度：中等

若，，，则，，的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 难度：简单

宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的（    ）

A.5 B.4 C.3 D.2

7. 难度：简单

的展开式中，含的项的系数是（）

A.-40 B.-25 C.25 D.55

8. 难度：简单

函数的图象大致为（　　）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

等差数列的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和为（   ）

A.  B.  C.  D.

10. 难度：简单

已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，那么该双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的体积为（ ）

A.     B.     C.     D.

12. 难度：困难

已知函数 若函数有个零点，则实数的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知x，y满足不等式组，则的最小值为______．

14. 难度：简单

曲线在处的切线的倾斜角为__________．

15. 难度：简单

各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，，则_________．

16. 难度：简单

已知点在圆和圆的公共弦上，则的最小值为_________．

三、解答题

17. 难度：中等

已知，设．

（1）求的解析式并求出它的周期．

（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积．

18. 难度：中等

如图，是半圆的直径，是半圆上除点外的一个动点，垂直于所在的平面，垂足为，，且，.

（1）证明：平面平面；

（2）当为半圆弧的中点时，求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率作了调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：

个人所得税税率表调整前	个人所得税税率表调整后
免征额3500元	免征额5000元
级数	全月应纳税所得额	税率	级数	全月应纳税所得额	税率
1	不超过1500元部分	3	1	不超过3000元部分	3
2	超过1500元至4500元的部分	10	2	超过3000元至12000元的部分	10
3	超过4500元至9000元的部分	20	3	超过12000元至25000元的部分	20

（1）假如小明某月的工资、薪金等税前收入为7500元，请你帮小明算一下调整后小明的实际收入比调整前增加了多少？

（2）某税务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：

收入元
人数	40	30	10	8	7	5

先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选3人作为新纳税法知识宣讲员，用随机变量X表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，求X的分布列与数学期望．

20. 难度：困难

已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为.

（1）求该椭圆的方程.

（2）若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.

22. 难度：简单

已知过点的直线l的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于,两点，试问是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.

23. 难度：简单

已知，，，函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的最小值为，求的值，并求的最小值．