山西省2018-2019学年高二上学期期末联合考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设命题p：∀x∈R，|x|＞x，则￢p为（    ）

A.∃x₀∈R，|x₀|＜x₀ B.∀x∈R，|x|＜x

C.∀x∈R，|x|≤x D.∃x₀∈R，|x₀|≤x₀

2. 难度：简单

设集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，，则A∩B＝（    ）

A.{x|﹣1＜x＜1} B.{x|0＜x＜1} C.{x|0≤x＜1} D.{x|0≤x≤1}

3. 难度：简单

复数的虚部是(　　)

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为，焦距为10，则双曲线C的方程为（  ）

A.  B.  C.  D.

5. 难度：简单

函数的图象大致为（  ）

A.  B.

C.  D.

6. 难度：简单

若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为（    ）

A.﹣1 B.0 C. D.1

7. 难度：中等

“方程表示的曲线为椭圆”是“”的（   ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 难度：简单

如图所示是计算的值的程序框图，则图中空白的判断框与执行框内应填入的内容分别是

A.， B.，

C.， D.，

9. 难度：中等

把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位长度，则所得图象（  ）

A. 在上单调递增 B. 关于对称

C. 最小正周期为 D. 关于轴对称

10. 难度：简单

有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（   ）

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

11. 难度：中等

已知首项为2的正项数列的前项和为，且当时，.若恒成立，则实数的取值范围为

A. B.

C. D.

12. 难度：困难

设双曲线M：1（a＞0，b＞0）的上顶点为A，直线y与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点（0，2）的距离不超过87a，则M的离心率的取值范围是（    ）

A.[1，+∞） B.[1，+∞） C.（1，1] D.（1，1]

二、填空题

13. 难度：简单

已知复数,且,则_____.

14. 难度：简单

命题“若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b”的逆否命题是_____．

15. 难度：简单

某学院为了调查本校学生2018年9月“健康使用手机”（健康使用手机指每天使用手机不超过3小时）的天数情况，随机抽取了80名本校学生作为样本，统计他们在30天内“健康使用手机”的天数，将所得数据分成以下六组：，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.根据频率分布直方图，可计算出这80名学生中“健康使用手机”超过15天的人数为______.

16. 难度：简单

在正方体中,分别为的中点,为侧面的中心,则异面直线与所成角的余弦值为_____.

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量（2cosC，2c），（cosA，2b，且∥．

（1）求C；

（2）若c，a+b＝2，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

已知数列满足,.

（1）计算的值,猜想数列的通项公式;

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为与的中点.

（1）证明：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

20. 难度：简单

已知过点的直线l与抛物线E：交于点A，B．

若弦AB的中点为M，求直线l的方程；

设O为坐标原点，，求．

21. 难度：中等

在三棱锥P﹣ABC中，AB＝1，BC＝2，AC，PC，PA，PB，E是线段BC的中点．

（1）求点C到平面APE的距离d；

（2）求二面角P﹣EA﹣B的余弦值．

22. 难度：困难

已知直线与椭圆:交于两点.

（1）若线段的中点为,求直线的方程;

（2）记直线与轴交于点,是否存在点,使得始终为定值?若存在,求点的坐标,并求出该定值;若不存在,请说明理由.