2020届江西省南昌市高三数学模拟试卷 (二)理科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知是虚数单位，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

若，则（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

在内部任取一点，使得的面积与的面积的比值大于的概率为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

等比数列中，，前三项和，则公比的值为（ ）

A.1 B. C.1或 D.－1或

6. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，输出的结果为（    ）

A.－2 B.－1 C.2 D.3

7. 难度：简单

水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1.5米.若以水面为轴，圆心到水面的垂线为轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点处开始计时，经过秒后转到点的位置，则点到水面的距离与时间的函数关系式为（    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：简单

设，，，则（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是（    ）

A.360 B.240 C.150 D.90

10. 难度：简单

如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球；顶部为球，其直径与正四面体的棱长相等，若这样设计奖杯，则球与球的半径之比（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知圆：，直线：与轴，轴分别交于，两点.设圆上任意一点到直线的距离为，若取最大值时，的面积（    ）

A. B.8 C.6 D.

12. 难度：中等

已知函数，若不等式仅有两个整数解，则实数a的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量，满足，，若，则与的夹角为______.

14. 难度：简单

一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐a个馒头，小和尚每餐每a人吃1个馒头.若大和尚的人数用表示，则______.

15. 难度：简单

已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为______.

16. 难度：中等

已知数列的前项和满足：（），则数列中最大项等于______.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，角，，的对边分别为，，，满足.

（1）求的值；

（2）若，则的面积的最大值.

18. 难度：中等

如图，多面体中，平面平面，，四边形为平行四边形.

（1）证明：；

（2）若，求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

已知椭圆：（）的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，满足，求直线的方程.

20. 难度：中等

某城市一社区接到有关部门的通知，对本社区居民用水量进行调研，通过抽样调查的方法获得了100户居民某年的月均用水量（单位：t），通过分组整理数据，得到数据的频率分布直方图如图所示：

（Ⅰ）求图中m的值；并估计该社区居民月均用水量的中位数和平均值.（保留3位小数）

（Ⅱ）用此样本频率估计概率，若从该社区随机抽查3户居民的月均用水量，问恰有2户超过的概率为多少？

（Ⅲ）若按月均用水量和分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽取10户，每户出一人参加水价调整方案听证会.并从这10人中随机选取3人在会上进行陈述发言，设来自用水量在区间的人数为X，求X的分布列和数学期望.

21. 难度：困难

已知函数.其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）函数在处存在极值－1，且时，恒成立，求实数的最大整数.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为：（为参数）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点P的直角坐标为，若直线l与曲线C分别相交于A，B两点，求的值.

23. 难度：中等

已知函数.

（Ⅰ）解关于x的不等式；

（Ⅱ）若a，b，，函数的最小值为m，若，求证：.