2006年甘肃省兰州市中考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（2006•兰州）已知相切两圆的半径是一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，则这两个圆的圆心距是（ ）
A．7
B．1或7
C．1
D．6

2. 难度：中等

（2006•兰州）为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捉50条鱼做记号，然后放回湖里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后，再捕捞第二次，鱼共200条，有10条做了记号，则估计湖里有多少条鱼（ ）
A．400条
B．500条
C．800条
D．1000条

3. 难度：中等

（2006•兰州）某地2004年外贸收入为2.5亿元，2006年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为（ ）
A．2.5（1+x）²=4
B．（2.5+x%）²=4
C．2.5（1+x）（1+2x）=4
D．2.5（1+x%）²=4

4. 难度：中等

（2006•兰州）如图，P₁、P₂、P₃是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P₁A₁0，P₂A₂0，P₃A₃0，设它们的面积分别是S₁、S₂、S₃，则（ ）

A．S₁＜S₂＜S₃
B．S₂＜S₁＜S₃
C．S₁＜S₃＜S₂
D．S₁=S₂=S₃

5. 难度：中等

（2006•兰州）在Rt△ABC中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ）
A．sinA=sinB
B．tanA=tanB
C．sinA=cosB
D．cosA=cosB

6. 难度：中等

（2006•兰州）书包里有数学书3本、英语书2本、语文书5本，从中任意抽取一本，则是数学书的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

（2008•德阳）如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A₁处，已知OA=，AB=1，则点A₁的坐标是（ ）

A．（）
B．（）
C．（）
D．（）

8. 难度：中等

（2006•兰州）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=1，则下列结论中正确的是（ ）

A．ac＞0
B．b＜0
C．b²-4ac＜0
D．2a+b=0

9. 难度：中等

（2006•兰州）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF为梯形的中位线，DH为梯形的高，则下列结论：①∠BCD=60°；②四边形EHCF为菱形；③S_△BEH=S_△CEH；④以AB为直径的圆与CD相切于点F，其中正确结论的个数为（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

10. 难度：中等

（2008•资阳）已知y=2x²的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y=2（x-2）²+2
B．y=2（x+2）²-2
C．y=2（x-2）²-2
D．y=2（x+2）²+2

11. 难度：中等

（2006•兰州）若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（ ）
A．3：2
B．3：1
C．5：3
D．2：1

12. 难度：中等

（2006•兰州）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，夹角为30°，且分直径为1：5两部分，AB=6厘米，则弦CD的长为多少厘米（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

（2006•兰州）在函数中，自变量x的取值范围是    ．

14. 难度：中等

（2006•兰州）已知x₁、x₂是方程2x²-x-7=0的两根，则x₁²+x₂²的值是    ．

15. 难度：中等

（2006•兰州）如图，是正方体的平面展开图，每个面上标有一个汉字组成的三个词，分别是兰州人引以自豪的“三个一”（一本书、一条河、一碗面），在正方体上与“读”字相对的面上的字是    ．

16. 难度：中等

（2006•兰州）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a²-b²，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为    ．

17. 难度：中等

（2006•兰州）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为    度．（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°）

18. 难度：中等

（2006•兰州）开口向下的抛物线y=（m²-2）x²+2mx+1的对称轴经过点（-1，3），则m=    ．

19. 难度：中等

（2006•兰州）已知等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，如果底边BC的长为6，则底角的正切值为    ．

20. 难度：中等

（2006•兰州）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是    ．

三、解答题

21. 难度：中等

（2006•兰州）随机抽查某城市30天的空气状况统计如下：

污染指数（w）	40	60	90	110	120
天数（t）	3	3	9	10	5

其中，w≤50时，空气质量为优；50＜w≤100时，空气质量为良；100＜w≤150时，空气质量为轻微污染．
（1）请用扇形统计图表示这30天中空气质量的优、良、轻微污染的分布情况；
（2）估计该城市一年（365天）中有多少天空气质量达到良以上．

22. 难度：中等

（2006•兰州）小明想测量学校内一棵不可攀的树的高度，由于我法直接测量A，B两点间的距离，请你用学过的数学知识按以下要求设计一种测量方法．
（1）画出测量图；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）计算A，B间的距离．

23. 难度：中等

（2006•兰州）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点与D，DE⊥AC．
（1）求证：△BAD∽△CED；
（2）求证：DE是⊙O的切线．

24. 难度：中等

（2006•兰州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．
（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形？
（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．

25. 难度：中等

（2007•呼伦贝尔）有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，丁洋和王倩同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：①分别转动转盘A和B；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；③如果和为0，丁洋获胜，否则，王倩获胜．
（1）用列表法（或树状图）求丁洋获胜的概率；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

26. 难度：中等

（2006•兰州）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？

27. 难度：中等

（2006•兰州）已知一次函数y₁=3x-2k的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6．
（1）求两个函数的解析式；
（2）结合图象求出y₁＜y₂时，x的取值范围．

28. 难度：中等

（2006•兰州）在⊙O的内接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC，垂足为D，且AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当AB的长等于多少时，⊙O的面积最大，并求出⊙O的最大面积．

29. 难度：中等

（2006•兰州）广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？
（结果保留到0.1米）

30. 难度：中等

（2006•兰州）如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．若sinα=，OP=2．
（1）当∠MPN旋转30°（即∠OPM=30°）时，求点N移动的距离；
（2）求证：△OPN∽△PMN；
（3）写出y与x之间的关系式；
（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．