2006年湖南省湘潭市中小学教师业务理论考试初中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

（2006•湘潭模拟）化简：=    ．

2. 难度：中等

（2006•湘潭模拟）已知分式，当x=1时，分式的值记为f（1），当x=2时，分式的值记为f（2），依此计算：=    ．

3. 难度：中等

（2010•连云港模拟）用边长为1cm的小正方形搭如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是    cm（用含n的代数式表示）．

4. 难度：中等

（2006•湘潭模拟）将一根长为15cm的很细的木棒置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形杯中，木棒露在杯子外面的部分长度x的范围是    ．

5. 难度：中等

（2006•湘潭模拟）某电视台在黄金时段有2min广告时间，计划插播长度为15s和30s的两种广告，15s广告每播一次收费0.6万元，30s广告每播一次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次，那么该电视台在这段时间内最多可收广告费    万元．

6. 难度：中等

（2006•湘潭模拟）如图，菱形ABCD的对角线的长度分别为4、5，P是对角线AC上的一点，PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则图中阴影部分的面积是    ．

7. 难度：中等

（2006•咸宁）某城市为避免生活污水排入河流，需修建一条2 400米长的封闭式污水处理管道，为了尽量减少施工对市民生活的影响，实际施工比原计划每天多修10米，结果提前了20天完成任务，实际每天修多少米？设实际每天修x米，则可列方程为    ．

8. 难度：中等

（2006•湘潭模拟）从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有4条通路，从甲地到丁地有2条道路，从丁地到丙地有5条道路，那么从甲地（经乙地或丁地）到丙地一共有    种不同的走法．

9. 难度：中等

（2006•湘潭模拟）已知（1-2x）⁸=a+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸．则：a+a₂+a₄+a₆+a₈=    ．

二、选择题

10. 难度：中等

（2006•湘潭模拟）定义图形A※B是由图形A与图形B组成的图形，已知：

则A※D是下图中的（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

（2004•镇江）已知，则直线y=kx+2k一定经过（ ）
A．第1，2象限
B．第2，3象限
C．第3，4象限
D．第1，4象限

12. 难度：中等

（2006•湘潭模拟）已知二次函数y=mx²-7x-7的图象和x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＞-
B．m＞-且m≠0
C．m≥-
D．m≥-且m≠0

13. 难度：中等

（2006•湘潭模拟）如图，直线l交两坐标轴于A、B，点C在线段AB上，若∠AOC=a，OA=OB，那么S_△OBC：S_△OAC=（ ）

A．sinα
B．cosα
C．tanα
D．cotα

14. 难度：中等

（2002•重庆）已知：一组数据x₁，x₂，x₃，x₄，x₅的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x₁-2，3x₂-2，3x₃-2，3x₄-2，3x₅-2的平均数和方差分别是（ ）
A．2，
B．2，1
C．4，
D．4，3

15. 难度：中等

（2007•攀枝花）如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（ ）

A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

（2006•武汉）越来越多的商品房空置是目前比较突出的问题，据国家有关部门统计：2006年第一季度全国商品房空置面积为1.23亿m²，比2005年第一季度增长23.8%，下列说法：
①2005年第一季度全国商品房空置面积为亿m²；
②2005年第一季度全国商品房空置面积为亿m²；
③若按相同增长率计算，2007年第一季度全国商品房空置面积将达到1.23×（1+23.8%）亿m²；
④如果2007年第一季度全国商品房空置面积比2006年第一季度减少23.8%，那么2007年第一季度全国商品空置面积与2005年第一季度相同．
其中正确的是（ ）
A．①，④
B．②，④
C．②，③
D．①，③

17. 难度：中等

（2006•湘潭模拟）如图，△ABC是锐角三角形，正方形DEFG的一边在BC上，其余两个定点在AB，AC上，记△ABC的面积为S₁，正方形的面积为S₂，则（ ）

A．S₁≥2S₂
B．S₁≤2S₂
C．S₁＞2S₂
D．S₁＜2S₂

18. 难度：中等

（2006•河北）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图（1）、（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与对应的常数项，把图（1）所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是类似地，图（2）所示的算筹图可表述为（ ）

A．
B．
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

（2006•湘潭模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，连接BD，若BC=1，求AD及tanA（请直接写出答案）．

20. 难度：中等

（2003•安徽）某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变．有关数据如下表所示：

景点	A	B	C	D	E
原价（元）	10	10	15	20	25
现价（元）	5	5	15	25	30
平均日人数（千人）	1	1	2	3	2

（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平．问风景区是怎样计算的？
（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%．问游客是怎样计算的？
（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？

21. 难度：中等

（2006•湘潭模拟）如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．

22. 难度：中等

（2010•高要市二模）某博物馆每周都有大量中外游客前来参观，如果游客过多，则不利于博物馆中的一些珍贵文物的保存，但又需要一定量的门票收入用于解决文物的保存，保护等费用问题，因此博物馆通过浮动门票价格的方法来控制参观人数，调查统计发现，每周参观的人数与票价之间的关系可近似地看成如图所示的一次函数关系．
（1）求图中一次函数的解析式；
（2）为确保每周4万元的门票收入，则门票价格应定为多少元？

23. 难度：中等

（2006•湘潭模拟）如图，已知，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）经过A（-1，0），C（0，1）两点，直线l与抛物线相交于C，B（，1）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M（m，t）（m＜0，t＞0）在抛物线上，MN∥x轴，且与该抛物线的另一交点N，问：是否存在实数t，使得MN=2AO？若存在，求出t值，若不存在说明理由．

24. 难度：中等

（2006•湘潭模拟）若x，y，，都是整数，且x＞1，y＞1，求x+y的值．