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2006年全国中考数学试题汇编《二次函数》(07)(解析版)
一、解答题
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1. 难度:中等
(2006•宜宾)如图,矩形纸片OABC放在直角坐标系中,使点O为坐标原点,边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上,且OA=5,OC=3,将矩形纸片折叠,使点O落在线段CB上,设落点为P,折痕为EF.
(1)当CP=2时,恰有OF=manfen5.com 满分网,求折痕EF所在直线的函数表达式;
(2)在折叠中,点P在线段CB上运动,设CP=x(0≤x≤5),过点P作PT∥y轴交折痕EF于点T,设点T的纵坐标为y,请用x表示y,并判断点T运动形成什么样的图象;
(3)请先探究,再猜想:怎样折叠,可使折痕EF最长?并计算出EF最长时的值.(不要求证明)

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2. 难度:中等
(2006•盐城)已知:如图,A(0,1)是y轴上一定点,B是x轴上一动点,以AB为边,在∠OAB的外部作∠BAE=∠OAB,过B作BC⊥AB,交AE于点C.
(1)当B点的横坐标为manfen5.com 满分网时,求线段AC的长;
(2)当点B在x轴上运动时,设点C的纵、横坐标分别为y、x,试求y与x的函数关系式(当点B运动到O点时,点C也与O点重合);
(3)设过点P(0,-1)的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1,y1)、M2(x2,y2),且x12+x22-6(x1+x2)=8,求直线l的解析式.

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3. 难度:中等
(2006•盐城)已知:抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A、B两点(A点在B点的左侧),顶点为P.
(1)求A、B、P三点坐标;
(2)在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图,并根据简图写出当x取何值时,函数值y大于零;
(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数,并说明理由.
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4. 难度:中等
(2006•烟台)如图(单位:m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合.设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym2
(1)写出y与x的关系式;
(2)当x=2,3.5时,y分别是多少?
(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间?

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5. 难度:中等
(2006•烟台)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(1,manfen5.com 满分网),其顶点E的横坐标为2,此抛物线与x轴分别交于B(x1,0),C(x2,0)两点(x1<x2),且x12+x22=16.
(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标;
(2)若D是y轴上一点,且△CDE为等腰三角形,求点D的坐标.
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6. 难度:中等
(2006•雅安)如图,已知二次函数y=-manfen5.com 满分网x2+4x+c的图象经过坐标原点,并且与函数y=manfen5.com 满分网x的图象交于O、A两点.
(1)求c的值;
(2)求A点的坐标;
(3)若一条平行于y轴的直线与线段OA交于点F,与这个二次函数的图象交于点E,求线段EF的最大长度.

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7. 难度:中等
(2006•孝感)如图,已知二次函数y=manfen5.com 满分网x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点M,与y轴的交点为A,过点A的直线y=x+c与x轴交于点N,与这个二次函数的图象交于点B.
(1)求点A、B的坐标(用含b、c的式子表示);
(2)当S△BMN=4S△AMN时,求二次函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,设点P为x轴上的一个动点,那么是否存在这样的点P,使得以P、A、M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请写出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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8. 难度:中等
(2006•襄阳)在如图所示的直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,D为x轴上一点,连接BD交y轴于E点,且tan∠CBE=manfen5.com 满分网.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A、C、D三点,顶点为F.
(1)求D点坐标;
(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标;
(3)在直线DB上是否存在点P,使四边形PFDO为梯形?若存在,求出其坐标;若不存在,请说明理由.

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9. 难度:中等
(2006•襄阳)已知:AC是⊙O的直径,点A、B、C、O在⊙O1上,OA=2.建立如图所示的直角坐标系.∠ACO=∠ACB=60度.
(1)求点B关于x轴对称的点D的坐标;
(2)求经过三点A、B、O的二次函数的解析式;
(3)该抛物线上是否存在点P,使四边形PABO为梯形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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10. 难度:中等
(2006•湘潭)已知:如图,抛物线y=-manfen5.com 满分网的图象与x轴分别交于A,B两点,与y轴交于C点,⊙M经过原点O及点A、C,点D是劣弧manfen5.com 满分网上一动点(D点与A、O不重合).
(1)求抛物线的顶点E的坐标;
(2)求⊙M的面积;
(3)连CD交AO于点F,延长CD至G,使FG=2,试探究,当点D运动到何处时,直线GA与⊙M相切,并请说明理由.

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11. 难度:中等
(2006•厦门)已知P(m,a)是抛物线y=ax2上的点,且点P在第一象限.
(1)求m的值
(2)直线y=kx+b过点P,交x轴的正半轴于点A,交抛物线于另一点M.
①当b=2a时,∠OPA=90°是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,举出一个反例说明;
②当b=4时,记△MOA的面积为S,求manfen5.com 满分网的最大值.
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12. 难度:中等
(2006•厦门)已知抛物线y=ax2+b(a>0,b>0),函数y=b|x|
问:(1)如图,当抛物线y=ax2+b与函数y=b|x|相切于AB两点时,a、b满足的关系;
(2)满足(1)题条件,则三角形AOB的面积为多少?
(3)满足条件(2),则三角形AOB的内心与抛物线的最低点间的距离为多少?
(4)若不等式ax2+b>b|x|在实数范围内恒成立,则a、b满足什么关系?

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13. 难度:中等
(2006•厦门)如图1,连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1,又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2,如此无限继续下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,…
已知A(0,0),B(3,0),C(2,2).
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(1)求这一系列三角形趋向于一个点M的坐标;
(2)如图2,分别求出经过A,B,C三点的抛物线解析式和经过A1,B1,C1三点的抛物线解析式;
(3)设两抛物线的交点分别为E、F,连接EF、EC1、FC1、EC2、FC2、C1C2,问:C2与△EC1F的关系是什么?
(4)如图3,问:A,A2,C,C2四点可不可能在同一条抛物线上,试说明理由.
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14. 难度:中等
(2006•西岗区)已知抛物线y=manfen5.com 满分网x2+bx+c经过点(1,-1)和C(0,-1),且与x轴交于A、B两点(A在B左边),直manfen5.com 满分网线x=m(m>0)与x轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第一象限内,直线x上是否存在点P,使得以P、B、D为顶点的三角形与△OBC全等?若存在,求出点P坐标;若不存在,说明理由;
(3)在(2)的情况下,过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q,四边形AOPQ能否为平行四边形?若能,求Q点坐标;若不能,说明理由.
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15. 难度:中等
(2006•武汉)(人教版)已知:二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1,0)、B(x2,0)两点,交y轴正半轴于点C,且x12+x22=10.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)是否存在过点D(0,-manfen5.com 满分网)的直线与抛物线交于点M、N,与x轴交于点E,使得点M、N关于点E对称?若存在,求直线MN的解析式;若不存在,请说明理由.
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16. 难度:中等
(2006•梧州)在平面直角坐标系中,抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为x=1,B(3,0),C(0,-3).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)在x轴上方平行于x轴的一条直线交抛物线于M,N两点,以MN为直径作圆与x轴相切,求此圆的直径;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使点P到B,C两点间的距离之差最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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17. 难度:中等
(2006•无锡)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点是C(0,1),直线l:y=-ax+3与这条抛物线交于P、Q两点,与x轴、y轴分别交于点M和N.
(1)设点P到x轴的距离为2,试求直线l的函数关系式;
(2)若线段MP与PN的长度之比为3:1,试求抛物线的函数关系式.
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18. 难度:中等
(2006•乌兰察布)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达B,C点),过D作∠ADE=45°,DE交AC于E.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数表达式;
(3)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.

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19. 难度:中等
(2006•潍坊)已知二次函数图象的顶点在原点O,对称轴为y轴.一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A,B两点(A在B的左侧),且A点坐标为(-4,4).平行于x轴的直线l过(0,-1)点.
(1)求一次函数与二次函数的解析式;
(2)判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系,并给出证明;
(3)把二次函数的图象向右平移2个单位,再向下平移t个单位(t>0),二次函数的图象与x轴交于M,N两点,一次函数图象交y轴于F点.当t为何值时,过F,M,N三点的圆的面积最小,最小面积是多少?

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20. 难度:中等
(2006•威海)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=8cm,CD=2cm,AD=BC=6cm,M、N为同时从A点出发的两个动点,点M沿A⇒D⇒C⇒B的方向运动,速度为2cm/秒;点N沿A⇒B的方向运动,速度为1cm/秒.当M、N其中一点到达B点时,点M、N运动停止.设点M、N的运动时间为x秒,以点A、M、N为顶点的三角形的面积为ycm2
(1)试求出当0<x<3时,y与x之间的函数关系式;
(2)试求出当4<x<7时,y与x之间的函数关系式;
(3)当3<x<4时,以A、M、N为顶点的三角形与以B、M、N为顶点的三角形是否有可能相似?若相似,试求出x的值;若不相似,试说明理由.

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21. 难度:中等
(2006•威海)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,-3),B(3,-3),C(-1,5),顶点为M点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)试判断抛物线上是否存在一点P,使∠POM=90度?若不存在,说明理由;若存在,求出P点的坐标;
(3)试判断抛物线上是否存在一点K,使∠OMK=90°?说明理由.

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22. 难度:中等
(2006•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,4).
(Ⅰ)试用含a的代数式分别表示b,c;
(Ⅱ)若直线y=kx+4(k≠0)与y轴及该抛物线的交点依次为D、E、F,且manfen5.com 满分网,其中O为坐标原点,试用含a的代数式表示k;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若线段EF的长m满足3manfen5.com 满分网≤m≤3manfen5.com 满分网,试确定a的取值范围.
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23. 难度:中等
(2006•泰州)将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.manfen5.com 满分网
(1)如图(1),在OA上取一点E,将△EOC沿EC折叠,使O点落在AB边上的D点,求E点的坐标;
(2)如图(2),在OA、OC边上选取适当的点E′、F,将△E′OF沿E′F折叠,使O点落在AB边上的D′点,过D′作D′G∥A′O交E′F于T点,交OC′于G点,求证:TG=A′E′.
(3)在(2)的条件下,设T(x,y)①探求:y与x之间的函数关系式.②指出变量x的取值范围.
(4)如图(3),如果将矩形OABC变为平行四边形OA“B“C“,使O C“=10,O C“边上的高等于6,其它条件均不变,探求:这时T(x,y)的坐标y与x之间是否仍然满足(3)中所得的函数关系,若满足,请说明理由;若不满足,写出你认为正确的函数关系式.
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24. 难度:中等
(2006•泰安)如图,Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点B在y轴上,OB=manfen5.com 满分网,∠BAO=30度.将Rt△AOB折叠,使BO边落在BA边上,点O与点D重合,折痕为BC.
(1)求直线BC的解析式;
(2)求经过B,C,A三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式;若抛物线的顶点为M,试判断点M是否在直线BC上,并说明理由.

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25. 难度:中等
manfen5.com 满分网(2006•宿迁)如图,抛物线y=-manfen5.com 满分网x2+manfen5.com 满分网x-2与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C.
(1)求证:△AOC∽△COB;
(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D.若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动,同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由D向C运动,则经过几秒后,PQ=AC.
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26. 难度:中等
(2006•十堰)已知抛物线C1:y=-x2+2mx+n(m,n为常数,且m≠0,n>0)的顶点为A,与y轴交于点C;抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,其顶点为B,连接AC,BC,AB.
注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为manfen5.com 满分网
(1)请在横线上直接写出抛物线C2的解析式:______
(2)当m=1时,判定△ABC的形状,并说明理由;
(3)抛物线C1上是否存在点P,使得四边形ABCP为菱形?如果存在,请求出m的值;如果不存在,请说明理由.

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27. 难度:中等
(2006•沈阳)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-manfen5.com 满分网x+1分别与x轴,y轴交于点A,点B.
(1)以AB为一边在第一象限内作等边△ABC及△ABC的外接圆⊙M(用尺规作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹);
(2)若⊙M与x轴的另一个交点为点D,求A,B,C,D四点的坐标;
(3)求经过A,B,D三点的抛物线的解析式,并判断在抛物线上是否存在点P,使△ADP的面积等于△ADC的面积?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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28. 难度:中等
(2006•深圳)如图,抛物线y=ax2-8ax+12a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),抛物线上另有一点C在第一象限,满足∠ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.
(1)求线段OC的长;
(2)求该抛物线的函数关系式;
(3)在x轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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29. 难度:中等
(2006•邵阳)如图,已知抛物线y=manfen5.com 满分网x2+1,直线y=kx+b经过点B(0,2)
(1)求b的值;
(2)将直线y=kx+b绕着点B旋转到与x轴平行的位置时(如图1),直线与抛物线y=manfen5.com 满分网x2+1相交,其中一个交点为P,求出P的坐标;
(3)将直线y=kx+b继续绕着点B旋转,与抛物线相交,其中一个交点为P'(如图②),过点P'作x轴的垂线P'M,点M为垂足.是否存在这样的点P',使△P'BM为等边三角形?若存在,请求出点P'的坐标;若不存在,请说明理由.
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