2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷（二）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算（1+）²⁰¹⁰（1-）²⁰¹¹的结果是（ ）
A．1-
B．-1
C．1
D．-1

2. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，则的值为（ ）

A．
B．3-
C．6-3
D．

3. 难度：中等

初三（1）班在今年的植树节领有平均每人植树6棵的任务，如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成，每人应植树的棵数为（ ）
A．9
B．10
C．12
D．14

4. 难度：中等

如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形内的三个数依次为（ ）

A．1，-2，0
B．0，-2，1
C．-2，0，1
D．-2，1，0

5. 难度：中等

根据下列表格的对应值，判断方程ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（ ）

x	3.23	3.24	3.25	3.26
ax^2+bx+c	-0.06	-0.02	0.03	0.09

A．3＜x＜3.23
B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25
D．3.25＜x＜3.26

6. 难度：中等

已知实数a≠b，且满足（a+1）²=3-3（a+1），3（b+1）=3-（b+1）²，则的值为（ ）
A．23
B．-23
C．-2
D．-13

二、填空题

7. 难度：中等

一个西瓜，横切两刀，再竖切两刀（刀刃足够长，都不靠边切），吃完西瓜，剩下    块西瓜皮．

8. 难度：中等

如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠A=30°，∠O=48°，则∠E=    °．

9. 难度：中等

如图，正比例函数y=-x与反比例函数y=-的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，则四边形ABCD的面积为    ．

10. 难度：中等

如图是由棱长为a的小正方体堆积成的图形．若按照这样的规律继续摆放，第n层需要    块小正方体（用含n的代数式表示）．

11. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CG∥AB，BG分别交AD，AC于E，F．若=，那么等于    ．

12. 难度：中等

如图，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问：当AB等于    时，这两个直角三角形相似．

三、解答题

13. 难度：中等

已知：如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）已知BC=，CD=，求sin∠AEB的值；
（3）在（2）的条件下，求弦AB的长．

14. 难度：中等

推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列，丙可以看见甲、乙，乙可以看见甲但看不见丙，甲看不见乙、丙．现有5顶帽子，3顶白色，2顶黑色．老师分别给每人戴上一顶帽子（在各自不知道的情况下）．老师先问丙是否知道头上的帽子颜色，丙回答说不知道；老师再问乙是否知道头上的帽子颜色，乙也回答说不知道；老师最后问甲是否知道头上的帽子颜色，甲回答说知道．请你说出甲戴了什么颜色的帽子，并写出推理过程．

15. 难度：中等

如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．