2013年湖南省长沙市中考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列实数是无理数的是（ ）
A．-1
B．0
C．
D．

2. 难度：中等

小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．617×10⁵
B．6.17×10⁶
C．6.17×10⁷
D．0.617×10⁸

3. 难度：中等

如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

4. 难度：中等

已知⊙O₁的半径为1cm，⊙O₂的半径为3cm，两圆的圆心距O₁O₂为4cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切

5. 难度：中等

下列计算正确的是（ ）
A．a⁶÷a³=a³
B．（a²）³=a⁸
C．（a-b）²=a²-b²
D．a²+a²=a⁴

6. 难度：中等

某校篮球队12名同学的身高如下表：

身高（cm）	180	186	188	192	195
人数	1	2	5	3	1

则该校篮球队12名同学身高的众数是（单位：cm）（ ）
A．192
B．188
C．186
D．180

7. 难度：中等

下列各图中，∠1大于∠2的是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．八边形

9. 难度：中等

在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c的图象中如图所示，则下列关系式错误的是（ ）
A．a＞0
B．c＞0
C．b²-4ac＞0
D．a+b+c＞0

二、填空题

11. 难度：中等

计算：-=    ．

12. 难度：中等

分解因式：x²+2x+1=    ．

13. 难度：中等

已知∠A=67°，则∠A的余角等于    度．

14. 难度：中等

方程的解为x=    ．

15. 难度：中等

如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为    cm．

16. 难度：中等

如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AB，AC的中点，则△ADE和△ABC的周长之比等于    ．

17. 难度：中等

在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是    ．

18. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AE∥CD交BC于点E，若AD=2，BC=5，则边CD的长是    ．

三、解答题

19. 难度：中等

计算：．

20. 难度：中等

解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．

21. 难度：中等

“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

（1）统计图共统计了______天空气质量情况．
（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形圆心角度数．
（3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？

22. 难度：中等

如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．

23. 难度：中等

为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．
（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？
（2）除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？

24. 难度：中等

如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．
（1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．

25. 难度：中等

设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；
（3）若二次函数y=x²-x-是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．

26. 难度：中等

如图，在平面坐标系中，直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．
（1）求∠OAB的度数；
（2）求证：△AOF∽△BEO；
（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S₁，△OEF的面积为S₂．试探究：S₁+S₂是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．