2013年浙江省杭州市拱墅区中考数学一模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，AE交⊙O于点F且与⊙O的切线CD互相垂直，垂足为D，连结AC，OC，CB．有下列结论：①∠1=∠2；②OC∥AE；③AF=OC；④△ADC∽△ACB．其中结论正确的是    （写出序号）．

2. 难度：中等

在面积为12的平行四边形ABCD中，过点A作直线BC的垂线交BC于点E，过点A作直线CD的垂线交CD于点F，若AB=4，BC=6，则CE+CF的值为    ．

3. 难度：中等

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为    ．

二、解答题

4. 难度：中等

先化简，再求值：（a-）÷，其中a=sin30°，b=tan45°．

5. 难度：中等

设函数y=ax²+bx+1，其中a可取的值是-1，0，1； b可取的值是-1，1，2；
（1）当a、b 分别取何值时所得函数有最小值？请直接写出满足条件的这些函数和相应的最小值；
（2）如果a在-1，0，1三个数中随机抽取一个，b在-1，1，2中随机抽取一个，共可得到多少个不同的函数解析式？在这些函数解析式中任取一个，求取到当x＞0时y随x增大而减小的函数的概率．

6. 难度：中等

（1）在图1中，求作△ABC的外接圆（尺规作图，不写作法保留痕迹）；
（2）如图2，若△ABC的内心为O，且BA=BC=8，sinA=，求△ABC的内切圆半径．

7. 难度：中等

如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，FE交线段DC于点Q，FE的延长线交线段BC于点P，连结AP、AQ．
（1）求证：△ADQ≌△AEQ；
（2）求证：PQ=DQ+PB；
（3）当∠1=∠2时，求PQ的长．

8. 难度：中等

某商店采购甲、乙两种型号的电风扇，共花费15000元，所购进甲型电风扇的数量不少于乙型数量的2倍，但不超过乙型数量的3倍．现已知甲型每台进价150元，乙型每台进价300元，并且销售甲型每台获得利润30元，销售乙型每台获得利润75元．设商店购进乙型电风扇x台．
（1）商店共有多少种采购电风扇方案？
（2）若商店将购进的甲、乙两种型号的电风扇全部售出，写出此商店销售这两种电风扇所获得的总利润y（元）与购进乙型电风扇的台数x（台）之间的函数关系式；
（3）商店怎样的采购方案所获得的利润最大？求出此时利润最大值．

9. 难度：中等

如图，在R t△AOB中，已知AO=6，BO=8，点E从A点出发，向O点移动，同时点F从O点出发沿OB-BA向点A移动，点E的速度为每秒1个单位，点F的速度为每秒3个单位，当其中一点到达终点时，另一点随即停止移动．设移动时间为x秒：
（1）当x=2时，求△AEF的面积；
（2）当EF∥BO时，求x的值；
（3）设△AEF的面积为y，求出y关于x的函数关系式．

10. 难度：中等

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．
（1）直接写出抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）设抛物线上的点Q，使△QAO与△AOB相似（不全等），求出点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，已知点M（0，），连结QM并延长交抛物线另一点R，在直线QR下方的抛物线上找点P，当△PQR面积最大时，求点P的坐标及S_△PQR的最大值．

三、选择题

11. 难度：中等

如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如图，已知四条直线a，b，c，d，其中a∥b，c⊥b，且∠1=50°．则∠2=（ ）

A．60°
B．50°
C．40°
D．30°

13. 难度：中等

下列计算或化简正确的是（ ）
A．-a（a-b）-ab=-a²
B．a²+a³=a⁵
C．
D．

14. 难度：中等

下列因式分解正确的是（ ）
A．a²-b²=（a-b）²
B．16a²-8ab+b²=（4a-b）²
C．a²+ab+b²=（a+b）²
D．x²y+xy²+xy=xy（x+y）

15. 难度：中等

将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（ ）
A．R=8r
B．R=6r
C．R=4r
D．R=2r

16. 难度：中等

某校在七年级设立了六个课外兴趣小组，每个参加者只能参加一个兴趣小组，如图是六个兴趣小组不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，可得下列结论不正确的是（ ）
A．七年级共有320人参加了兴趣小组
B．体育兴趣小组对应扇形圆心角的度数为96°
C．美术兴趣小组对应扇形圆心角的度数为72°
D．各小组人数组成的数据中位数是56．

17. 难度：中等

下列说法中正确的是（ ）
A．若式子有意义，则x＞1
B．已知a，b，c，d都是正实数，且，则
C．在反比例函数中，若x＞0 时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k＞2
D．解分式方程的结果是原方程无解

18. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①abc＞0；②a-b+c＜0；③3a+c＜0；④当-1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是（ ）

A．①②
B．①④
C．②③
D．②③④

19. 难度：中等

如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确的结论是（ ）

A．①④
B．②③
C．①②④
D．①②③④

20. 难度：中等

关于x的方程x²-px-2q=0（p，q是正整数），若它的正根小于或等于4，则正根是整数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

四、填空题

21. 难度：中等

计算：3a•（-2a）=    ；（2ab²）³=    ．

22. 难度：中等

五位射击运动员在一次射击练习中，每人打10抢，成绩（单位：环）记录如下：97，98，95，97，93．则这组数据的众数是    ；平均数是    ．

23. 难度：中等

某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是    ．