《24.3 正多边形与圆》2009年同步练习（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若正三角形的外接圆半径为6cm，则此三角形的内切圆半径为    cm．

2. 难度：中等

边心距为5cm的正四边形的面积为    cm²．

3. 难度：中等

同一个圆的内接正方形和外切正六边形的边长之比为    ．

4. 难度：中等

边长为a的正n边形的外接圆与内切圆围成的圆环的面积为    ．

5. 难度：中等

如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度为    度．

6. 难度：中等

如图，以正六边形的顶点为圆心4cm为半径的六个圆中相邻两圆外切，则该正六边形边长是    cm．

7. 难度：中等

一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过    mm（保留根号）．

8. 难度：中等

如图，正六边形内接于圆⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为    ．

9. 难度：中等

如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM=45°，则AB的长为    ．

二、解答题

10. 难度：中等

已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．

11. 难度：中等

已知：如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC=36°，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB．
求证：五边形AEBCD是正五边形．

12. 难度：中等

如图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．
（1）求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；
（2）求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比（直接出答案）；
（3）根据前面探索和图3，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，（n为大于2的偶数）若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

13. 难度：中等

某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：
甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形．
乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图1，△ABC是正三角形，，证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形．
丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想…，边数是7时，它可能也是正多边形．
（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；
（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图2）是正七边形；（不必写已知，求证）
（3）根据以上探索过程，提出你的猜想．（不必证明）

三、选择题

14. 难度：中等

如图所示，扇形AOB的中心角为60°，半径为6，C、D分别是的三等分点，则阴影部分的面积是（ ）
A．16π
B．6π
C．2π
D．π

15. 难度：中等

三个同心圆的半径分别为r₁、r₂、r₃，且r₁＜r₂＜r₃，如果大圆的面积被两个小圆分成面积相等的三部分，则r₁׃r₂׃r₃为（ ）
A．1：2：3
B．
C．1：4：9
D．

16. 难度：中等

在半径为3cm的圆中，长为2πcm的弧所对的圆心角的度数为（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°

17. 难度：中等

在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为（ ）
A．：1
B．2：
C．1：
D．2：3

18. 难度：中等

一个圆锥形冰淇淋纸筒（无盖），其底面直径为6cm，母线长为5cm，做成一个这样的纸筒所需纸片的面积是（ ）
A．66πcm²
B．28πcm²
C．30πcm²
D．15πcm²

19. 难度：中等

下列说法不正确的是（ ）
A．圆内正n边形的中心角为
B．各边相等的，各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等的圆内接多边形是正多边形
D．各角相等的多边形是正多边形

20. 难度：中等

半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A．1：：
B．：：1
C．3：2：1
D．1：2：3

21. 难度：中等

已知正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R：a=（ ）
A．1：1：
B．1：：2
C．1：：1
D．：2：4

22. 难度：中等

下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）
①线段，②等边三角形，③平行四边形，④等腰梯形，⑤菱形，⑥矩形，⑦正方形
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个

23. 难度：中等

正五边形绕其中心旋转下列各角度，所得正五边形与原正五边形不重合的是（ ）
A．216°
B．144°
C．120°
D．72°

24. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各内角分别相等的多边形是正多边形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形

25. 难度：中等

已知正多边形的每个内角均为108°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

26. 难度：中等

若正六边形的边长为8cm，则它的边心距为（ ）
A．8cm
B．6cm
C．4cm
D．2cm

27. 难度：中等

如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（ ）

A．34cm
B．32cm
C．30cm
D．28cm

28. 难度：中等

高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，如图，正十七边形的中心角∠AOB的度数近似于（ ）

A．11°
B．17°
C．21°
D．25°

29. 难度：中等

如图，八边形ABCDEFGH中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠G=∠H=135°，AB=CD=EF=GH=1cm，BC=DE=FG=HA=cm，则这个八边形的面积等于（ ）

A．7cm²
B．8cm²
C．9cm²
D．14cm²

30. 难度：中等

如图，某学校欲建一个喷泉水池，底面是半径为4m的正六边形，池底是水磨石地面，所要用的磨光机是半径为2dm的圆形砂轮，磨池底时，磨头磨不到的正六边形的部分为（单位：dm²）（ ）

A．2400-1200π
B．8-400π
C．8-π
D．24-π

四、填空题

31. 难度：中等

一个正多边形的中心角为36°，则它的边数是    ．

32. 难度：中等

正方形的边心距与半径的比例为    ．

33. 难度：中等

半径为r的圆中，60°的圆心角所对的弧长为l=    ．

34. 难度：中等

已知正三角形的边长为a，其内切圆半径为r，外接圆半径为R，则r：a：R等于    ．

35. 难度：中等

如图，要把边长为b的正三角形的纸板剪去三个三角形，得到正六边形，则正六边形的周长为    ．

36. 难度：中等

弯制管道时，先按中心线计划“展直长度”，再下料，如图所示可算得管道的展直长度约为    mm．（π=3.14，单位为mm，精确到1mm）

37. 难度：中等

圆锥的轴截面是一个等边三角形，若它的底面半径为5，则它的高为    ．

38. 难度：中等

PA、PB是⊙O的两条切线，其中A、B为切点，若⊙O的半径为R，∠APB=60°，则劣弧的长度为    ．

39. 难度：中等

一扇形的半径为60cm，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为    cm．

40. 难度：中等

有一个含30°的直角三角板，将它绕较长的直角边旋转一周得到一圆锥，则这一圆锥的侧面展开图的圆心角是    度．

41. 难度：中等

正三角形的半径为3，则正三角形的边心距为    ．

42. 难度：中等

如图所示，把⊙O分成三等份，经过各点作圆的切线，以相邻的切线交点为顶点的三角形是这个圆的外切正三角形，若正三角形ABC的半径为2，则外切正三角形的边长为    ．

43. 难度：中等

一个外角等于它的一个内角的正多边形是    ．

44. 难度：中等

一个正多边形的中心角为20°，则它是正    边形．

45. 难度：中等

若正多边形的每个内角为144°，则它的中心角是    度．

46. 难度：中等

外角大于内角的正多边形是    ．