《第1章 证明（二）》2009年水平测试C卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形

2. 难度：中等

下列命题中，正确的是（ ）
A．三个角对应相等的两个三角形全等
B．周长和一边对应相等的两个三角形全等
C．三条边对应相等的两个三角形全等
D．面积和一边对应相等的两个三角形全等

3. 难度：中等

如图，已知∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=1cm，BC=6cm，则△BDC的面积为（ ）

A．1cm²
B．6cm²
C．3cm²
D．12cm²

4. 难度：中等

如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，以斜边AB为一边作等边△ABD，使点C，D在AB的同侧；再以CD为一边作等边△CDE，使点C，E落在AD的异侧．若AE=1，则CD的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系式中不成立的是（ ）

A．∠B=∠CAE
B．∠DEA=∠CEA
C．∠B=∠BAE
D．AC=2EC

6. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为（ ）

A．30°
B．40°
C．60°
D．80°

7. 难度：中等

等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（ ）
A．4
B．10
C．4或10
D．以上答案都不对

8. 难度：中等

在直角三角形中，一条边长为a，另一条边长为2a，那么它的三个内角的比为（ ）
A．1：2：3
B．2：2：1
C．1：1：2
D．以上都不对

9. 难度：中等

若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（ ）
A．75°
B．15°
C．75°或15°
D．30°

10. 难度：中等

如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（ ）

A．40°
B．45°
C．50°
D．60°

二、填空题

11. 难度：中等

已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是    ．

12. 难度：中等

如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，则x取值范围是    ．

13. 难度：中等

如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是    cm．

14. 难度：中等

如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为    ．

15. 难度：中等

如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是    cm²．

16. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，BD=8，则AC=    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，AB=AC，∠A=58°，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC=    度．

18. 难度：中等

如图，P是∠AOB的角平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C，若∠AOB=60°，PD=2cm，则△COP是    三角形，OP=    cm．

19. 难度：中等

如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，把△ADC沿直线AD折过来，点C落到点C₁的位置，如果BC=10，那么BC₁=    ．

20. 难度：中等

如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE．请写出正确结论的序号    （注：将你认为正确结论的序号都填上）．

三、解答题

21. 难度：中等

如图，已知CE为△ABC中∠C的平分线，AD∥CE交BC延长线于D，如果F为AD的中点，求证：CF⊥CE．

22. 难度：中等

如图，△ABC按逆时针旋转至△AB′C′的位置，使AC平分BB′．
求证：AB′平分CC′．

23. 难度：中等

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B：∠C的值．

24. 难度：中等

如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．

25. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AB=10，AC-BC=2，求CD的长．

26. 难度：中等

如图，在等腰Rt△ABC中，P是斜边BC的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB，AC交于点E，F，连接EF．当∠EPF绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），△PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由．

27. 难度：中等

如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．
（1）当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；
（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．