《第22章 一元二次方程》2009年专题：一元二次方程根与系数的关系（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

如果方程x²+px+q=0的两根分别为-1，+1，那么p=    ，q=    ．

2. 难度：中等

已知一元二次方程x²-5x-6=0的两个根分别为x₁，x₂，则x₁²+x₂²=    ．

3. 难度：中等

已知x₁、x₂是关于x的一元二次方程a²x²-（2a-3）x+1=0的两个实数根，如果=-2，那么a的值是    ．

4. 难度：中等

已知关于x的方程x²-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为    ．

5. 难度：中等

已知方程x²+3x-1=0的两个根为α、β，那么=    ．

二、选择题

6. 难度：中等

设方程x²+x-1=0的两个实数根分别为x₁，x₂，则的值为（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

7. 难度：中等

对于方程x²+bx-2=0，以下观点正确的是（ ）
A．方程有无实数根，要根据b的取值而定
B．无论b取何值，方程必有一正根，一负根
C．当b＞0时，方程两根为正；b＜0时，方程两根为负
D．∵-2＜0，∴方程两根肯定为负

8. 难度：中等

已知一个直角三角形两条直角边的长是方程2x²-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A．3
B．-3
C．2
D．-2

9. 难度：中等

已知α、β满足α+β=5，且αβ=6，则以α、β为两根的一元二次方程是（ ）
A．x²+5x+6=0
B．x²-5x+6=0
C．x²-5x-6=0
D．x²+5x-6=0

10. 难度：中等

一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两异号实数根的条件是（ ）
A．＞0
B．＜0
C．＞0
D．＜0

三、解答题

11. 难度：中等

设x₁，x₂是方程2x²+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（x₁+1）（x₂+1）；
（2）x₁²x₂+x₁x₂²；
（3）；
（4）（x₁-x₂）²．

12. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²+（2m-3）x+m²=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m的值．

13. 难度：中等

已知x₁，x₂是关于x的方程x²+mx+n=0的两根，x₁+1，x₂+1是关于x的方程x²+nx+m=0的两根，求m，n的值．

14. 难度：中等

已知关于x的方程x²-2kx+k-=0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数k的取值范围．

15. 难度：中等

已知x₁、x₂是一元二次方程2x²-2x+m+1=0的两个实根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果m满足不等式7+4x₁x₂＞x₁²+x₂²，且m为整数．求m的值．