《第3章 证明（三）》2009年单元检测题（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

平行四边形的两邻边分别为20和16，若两条长边间的距离为8，则两短边间的距离为（ ）
A．5
B．10
C．4
D．8

2. 难度：中等

在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，OF⊥AD于F，若BE：ED=1：3，OF=3cm，则BD的长是（ ）cm．
A．6
B．8
C．10
D．12

3. 难度：中等

如图，O为平行四边形ABCD对角线AC与BD的交点，FE经过O点，且与边AD，BC分别交于点E，F，若BF=DE，则图中全等的三角形最多有（ ）

A．2对
B．3对
C．5对
D．6对

4. 难度：中等

如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）

A．AB∥DC
B．AC=BD
C．AC⊥BD
D．AB=DC

5. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，延长BC到F，使CF=CE，连接DF，BE的延长线与DF相交于G，则下列结论错误的是（ ）

A．BE=DF
B．BG⊥DF
C．∠F+∠CEB=90°
D．∠FDC+∠ABG=90°

6. 难度：中等

下列命题不正确的是（ ）
A．任何一个成中心对称的四边形是平行四边形
B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形
D．等边三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形

7. 难度：中等

已知一个四边形的四边长顺次为a，b，c，d，且满足a²+b²+c²+d²=2ac+2bd，则此四边形是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．平行四边形

8. 难度：中等

如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕O点顺时针旋转90°后到A′B′C′D′位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长是（ ）
A．8
B．4（-1）
C．8（-1）
D．4（+1）

9. 难度：中等

梯形ABCD中，AB∥CD，若AD=m，CD=n，AB=m+n，则下列等式一定成立的是（ ）
A．∠A=∠B
B．∠D=2∠B
C．BC=m-n
D．BC=m+n

10. 难度：中等

小许拿了一张正方形的纸片如图甲，沿虚线对折一次得图乙．再对折一次得图丙．然后用剪刀沿图丙中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角．打开后的形状是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

如图，过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的    ．

12. 难度：中等

如图菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2，那么O点到另一边的距离为    ．

13. 难度：中等

如图，延长正方形ABCD的边AB到E，使BE=AC，则∠E=    度．

14. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AH：AE=4：3，四边形EFGH的周长是40cm，则矩形ABCD的面积是    cm²．

15. 难度：中等

如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S₁与矩形QCNK的面积S₂的大小关系是S₁    S₂；（填“＞”或“＜”或“=”）

16. 难度：中等

如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积S₁为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S₂，S₃，…S_n（n为正整数），那么第n个正方形S_n的面积=    ．

17. 难度：中等

如图，把矩形纸片ABCD沿BD对折，使C落在E处，BE与AD相交于O，写出一组相等的线段    ．

18. 难度：中等

如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为    cm²．

19. 难度：中等

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，CD=BC，E是BA，CD的延长线的交点，若∠E=40°，则∠ACD=    度．

20. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=    ．

三、解答题

21. 难度：中等

如图，菱形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且CE=CF．求证：AE=AF．

22. 难度：中等

已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．

23. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，平行四边形ABCD的周长是36，DE=4，DF=5．
（1）求AB，BC的长；
（2）求∠A，∠B的度数．

24. 难度：中等

已知：如图，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，延长CB到点E，使BE=BC，连接DE交AB于点F，求证：OF=BE．

25. 难度：中等

如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．
（1）如图1所示，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是______；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是______；
③请证明你的上述两个猜想；
（2）如图2所示，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系．

26. 难度：中等

取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为Bn，得Rt△ABE，如图2；
第三步：沿EB线折叠得折痕EF，如图3；
利用展开图4探究：
（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．