| 1. 难度：中等 | |
如图，△ABC内接于⊙O，过C作CD∥AB与⊙O相交于D点，E是CD上一点，且满足AD=DE，连接BD与AE相交于点F．求证：△ADF∽△ABC．
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| 2. 难度：中等 | |
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是 的中点，BD交AC于点E．（1）△CDE与△BDC相似吗？为什么？ （2）若DE•DB=16，求DC的长． 
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| 3. 难度：中等 | |
已知，如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的一点，过点C作CD⊥AB于D，AC=2 cm．AD：DB=4：1，求AD的长．
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| 4. 难度：中等 | |
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如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E． （1）求证：ID=BD； （2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧  上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
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| 5. 难度：中等 | |
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如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H． （1）求证：AH•AB=AC2； （2）若过A的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE•AF=AC2； （3）若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP•AQ=AC2是否成立．（不必证明） 
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| 6. 难度：中等 | |
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如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE交直线AB于点E，连接BD． （1）求证：∠ADB=∠E； （2）求证：AD2=AC•AE； （3）当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE．请你利用图②进行探索和证明． 
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| 7. 难度：中等 | |
如图AB是⊙O的直径，弦DC⊥AB于点E，在 上取一点F，连接CF交AB于点M，连接DF并延长交BA的延长线于点N．求证： （1）∠DFC=∠DOB； （2）MN•OM=MC•FM． 
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| 8. 难度：中等 | |
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如图，BE是△ABC的外接⊙O的直径，CD是△ABC的高． （1）求证：  ；（2）已知：AB=11，AD=3，CD=6，求⊙O的直径BE的长． 
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| 9. 难度：中等 | |
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如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC至点D，使CD=AC，连接AD交⊙O与点E，连接BE、CE，BE交AC于点F． （1）求证：△ABE≌△CDE； （2）若AE=6，DE=9，求EF的长． 
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| 10. 难度：中等 | |
如图，已知△ABC三顶点在⊙O上，D为 的中点，AD与BC相交于点E，AC的延长线交过C、D、E三点的圆⊙O1于点F．（1）求证：∠BAD=∠DFE； （2）求证：△AEC∽△FED； （3）AB=AD是否成立？若成立则证明之，若不成立，则请你增加一个条件使其成立，并说明理由． 
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| 11. 难度：中等 | |
如图，在⊙O中，弦AC与BD交于E，AB=6，AE=8，ED=4，求CD的长．
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| 12. 难度：中等 | |
 半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，点P在 上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长； （2）当点P运动到  的中点时，求CQ的长；（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长． |
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| 13. 难度：中等 | |
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如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC的延长线于F、M、G． （1）求证：AE•BE=EF•EG； （2）连接BD，若BD⊥BC，且EF=MF=2，求AE和MG的长． 
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| 14. 难度：中等 | |
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如图，AD是△ABC的角平分线，延长AD交△ABC的外接圆O于点E，过C、D、E三点的圆O1交AC的延长线于点F，连接EF、DF． （1）求证：△AEF∽△FED； （2）若AD=6，DE=3，求EF的长； （3）若DF∥BE，试判断△ABE的形状，并说明理由． 
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| 15. 难度：中等 | |||||||||||||
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某“研究性学习小组”遇到了以下问题，请参与： 已知，△ABC是等边三角形且内接于⊙O，取  上异于A、B的点M．设直线CA与BM相交于点K，直线CB与AM相交于点N．    （1）如图1，图2，图3，M分别为  的中点、三分之一点、四分之一点，△ABC的边长均为2，分别测量出AK、BN的长，计算AK•BN的值（精确到0.01）并将结果填入下表中：
 上任意一点时，根据（1）的结果，猜想AK•BN与AB的数量关系式为______；（3）对（2）中提出的猜想，依图4给出证明． |
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| 16. 难度：中等 | |
已知：如图，在平面直角坐标系中，点C在y轴上，以C为圆心，4cm为半径的圆与x轴相交于点A、B，与y轴相交于D、E，且 = ．点P是⊙C上一动点（P点与A、B点不重合）．连接BP、AP．（1）求∠BPA的度数； （2）若过点P的⊙C的切线交x轴于点G，是否存在点P，使△APB与以A、G、P为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 
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| 17. 难度：中等 | |
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如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，AC=CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E． （1）求∠ACB的度数； （2）求证：AE=CE； （3）求证：AC2=AE•AF． 
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| 18. 难度：中等 | |
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如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点P，连接AC、DB． （1）求证：△PAC与△PDB是否相似______（填“是”或“否”）； （2）当  =______时， =4．
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| 19. 难度：中等 | |
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如图，已知半圆O的直径AB=4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O上，当三角板绕着点O转动时，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C、D两点，连接AD、BC交于点E． （1）求证：△ACE∽△BDE； （2）求证：BD=DE恒成立； （3）设BD=x，求△AEC的面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 
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| 20. 难度：中等 | |
如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为 ．（1）求证：△CDE∽△CBA； （2）求DE的长． 
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| 21. 难度：中等 | |
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已知，如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF （1）求证：AB=AC； （2）若AC=3cm，AD=2cm，求DE的长． 
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| 22. 难度：中等 | |
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我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究． 例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）． 请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究： （1）如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线m（m和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些？（直接写出两个即可） （2）如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n（m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D）．请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之； （3）如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是  的中点，弦DE⊥AB于点F．请找出点C和点E重合的条件，并说明理由．
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| 23. 难度：中等 | |
如图，在△ABC的外接圆O中，D是 的中点，AD交BC于点E，连接BD．（1）列出图中所有相似三角形； （2）连接DC，若在  上任取一点K（点A，B，C除外），连接CK，DK，DK交BC于点F，DC2=DF•DK是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明．
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| 24. 难度：中等 | |
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如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径GH⊥AB，交AC于D，GH，BC的延长线相交于E． （1）求证：∠OAD=∠E； （2）若OD=1，DE=3，试求⊙O的半径； （3）当  是什么类型的弧时，△CED的外心在△CED的外部、内部、一边上．（只写结论，不用证明）
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| 25. 难度：中等 | |
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图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2、当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开、已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、设AP=x分米． （1）求x的取值范围； （2）若∠CPN=60°，求x的值； （3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留）．  |
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| 26. 难度：中等 | |
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如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，且AB=8，DB=2． （1）求证：△ABC∽△CBD； （2）求图中阴影部分的面积．（结果精确到0.1，参考数据  ）
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| 27. 难度：中等 | |
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如图，在△ABC中，∠BAC=2∠C． （1）在图中作出△ABC的内角平分线AD．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明） （2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由． 
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| 28. 难度：中等 | |
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已知Rt△ABC中，∠B=90°． （1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）． ①作∠BAC的平分线AD交BC于D； ②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H； ③连接ED． （2）在（1）的基础上写出一对相似比不为1的相似三角形和一对全等三角形： △______∽△______；△______≌△______． 并选择其中一对加以证明． 
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| 29. 难度：中等 | |
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如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作△ABC的外接圆⊙O，作直径AE，连接BE； （2）若AB=8，AC=6，AD=5，求直径AE的长．（证明△ABE∽△ADC） 
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| 30. 难度：中等 | |
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阅读下列材料： 正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形． 数学老师给小明同学出了一道题目：在图1正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△ABC，使AB=AC=  ，BC= ；小明同学的做法是：由勾股定理，得AB=AC=  ，BC= ，于是画出线段AB、AC、BC，从而画出格点△ABC．（1）请你参考小明同学的做法，在图2正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△A′B′C′（A′点位置如图所示），使A′B′=A′C′=5，B′C′=  ．（直接画出图形，不写过程）；（2）观察△ABC与△A′B′C′的形状，猜想∠BAC与∠B′A′C′有怎样的数量关系，并证明你的猜想．  |
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