| 1. 难度：中等 | |
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如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB． （1）求sin∠ABC的值； （2）若E为x轴上的点，且S△AOE=  ，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由． 
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| 2. 难度：中等 | |
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如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 
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| 3. 难度：中等 | |
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如图，直线DE经过⊙O上的点C，并且OE=OD，EC=DC，⊙O交直线OD于A、B两点，连接BC，AC，OC．求证： （1）OC⊥DE； （2）△ACD∽△CBD． 
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| 4. 难度：中等 | |
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如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE． 
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| 5. 难度：中等 | |
如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．
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| 6. 难度：中等 | |
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已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN． 
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| 7. 难度：中等 | |
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如图，梯形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC与BD相交于点E，在不添加任何辅助线的情况下： （1）图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中一对全等三角形进行证明； （2）若BD平分∠ADC，请找出图中与△ABE相似的所有三角形． 
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| 8. 难度：中等 | |
如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．
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| 9. 难度：中等 | |
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如图，四边形ABCD是平行四边形．O是对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F，与CB、AD的延长线分别交于点G、H． （1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）； （2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明． 
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| 10. 难度：中等 | |
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如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=______°，BC=______ 
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| 11. 难度：中等 | |
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如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点，AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC，延长AD分别与BC、半圆O交于点F、E，连接BE、CE． （1）证明：△ABE∽△BFE； （2）证明：△BDE是等腰直角三角形； （3）如果四边形ABEC是梯形，试求∠ABC的大小． 
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| 12. 难度：中等 | |
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如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F． （1）求证：△PFA∽△ABE； （2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 
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| 13. 难度：中等 | |
如图，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA，OB，OC上取一点A′，B′，C′，使得 ，连接A′B′，B′C′，C′A′，所得△A′B′C′与△ABC是否相似？证明你的结论． |
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| 14. 难度：中等 | |
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如图①，将矩形ABCD沿着对角线AC分割，得到△ABC和△ACD，将△ACD绕点A按逆时针方向旋转α度，使D，A，B三点在同一直线上，得到图②，再把图②中的△ADE沿着AB方向平移s格，使点D与点A重合，得到图③，设EF与AC相交于点G． 请解答以下问题： （1）上述过程中，α=______度，s=______格； （2）在图③中，除了△ABC∽△EAF以外，还能找出对相似三角形； （3）请写一对你在图③中找出的相似三角形，并加以证明．  |
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| 15. 难度：中等 | |
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已知：如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P（P与O不重合），连接AC，BD，过A作AE⊥CP于E，过D作DF⊥PB于F． （1）请找出图中二对相似三角形：______∽______，______∽______； （2）请你从（1）中选择一对相似三角形加以证明． 
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| 16. 难度：中等 | |
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在数学课堂上，老师讲解“相似三角形”之后，接着出了一道题目让同学练习，题目是：“如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BA延长线上一点，CE与AD相交于F．请写出与△EBC相似的三角形，并加以证明．” 聪聪看后，迅速写出了下面解答： “与△EBC相似的只有△EAF．证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴△EBC∽△EAF．” 你对聪聪的解答有何意见？为什么？ 
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| 17. 难度：中等 | |
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如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=DE=3，AC=2DF=4． （1）判断这两个三角形是否相似并说明为什么？ （2）能否分别过A，D在这两个三角形中各作一条辅助线，使△ABC分割成的两个三角形与△DEF分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．  |
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| 18. 难度：中等 | |
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如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的  ？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 
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| 19. 难度：中等 | |
如图，已知矩形ABCD，AB= ，BC=3，在BC上取两点E，F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G，H．（1）求△PEF的边长； （2）在不添加辅助线的情况下，当F与C不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由； （3）若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有何数量关系并证明你猜想的结论． 
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| 20. 难度：中等 | |
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如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H．问： （1）∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？ （2）图中有哪几组相等的线段？ （3）当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？ 
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| 21. 难度：中等 | |
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如图，已知：△ABC的外角∠CAG=120°，∠CAG的平分线AD与BC的延长线相交于点D，延长DA与．△ABC的外接圆交于点F，连接FB、FC，FC与AB相交于点E． （1）写出图中除△EFB∽△EAC、△EAF∽△ECB以外的4对相似三角形； （2）判断△FBC的形状，并说明理由． 
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| 22. 难度：中等 | |
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如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交边BC于点E，连接BD． （1）根据题设条件，请你找出图中各对相似三角形； （2）请选择其中的一对相似三角形加以证明． 
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| 23. 难度：中等 | |
本题为选项做题，从甲、乙两题中选做一题即可，如果两题都做，只以甲题计分． 甲：直线l：y=（m-3）x+n-2（m，n为常数）的图象如图1所示，化简：|m-n|-  ；乙：已知：如图2，在边长为a的正方形ABCD中，M是边AD的中点，能否在边AB上找到点N（不含A、B），使得△MAN相似？若能，请给出证明；若不能，请说明理由． |
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| 24. 难度：中等 | |
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已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上一点，∠ABD=∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E． （1）写出图中所有与△ABD相似的三角形； （2）探索：设  ，是否存在这样的t值，使得△ADF∽△EDB？说明理由．
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| 25. 难度：中等 | |
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已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE．若∠BDE+∠BCE=180度． （1）写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）； （2）请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由． 
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| 26. 难度：中等 | |
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已知：在⊙O中，CD平分∠ACB，弦AB、CD相交于点E，连接AD、BD． （1）写出图中3对相似的三角形（不必证明）； （2）找出图中相等的线段，并说出理由． 
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| 27. 难度：中等 | |
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已知∠MON=90°，等边三角形ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点，顶点B与点O重合，顶点C在∠MON内部． （1）当顶点B在射线ON上移动到B1时，连接AB1，请在∠MON内部作出以AB1为一边的等边三角形AB1C1（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）设AB1与OC交于点Q，AC的延长线与B1C1交于点D．求证：△ACQ∽△AB1D； （3）连接CC1，试猜想∠ACC1为多少度？并证明你的猜想． 
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| 28. 难度：中等 | |
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如图，在▱ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，AC与BE、BF分别交于点G、H． （1）求证：△BAE∽△BCF； （2）若BG=BH，求证：四边形ABCD是菱形． 
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| 29. 难度：中等 | |
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如图所示，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F． （1）求证：△CEB≌△ADC； （2）若AD=9cm，DE=6cm，求BE及EF的长． 
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| 30. 难度：中等 | |
 如图，直线y=-3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点．（1）填空：A（______，______）、B（______，______）、C（______，______）； （2）求抛物线的函数关系式； （3）E为抛物线的顶点，在线段DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． |
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