| 1. 难度：中等 | |
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如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y． （1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式； （2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由． 
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| 2. 难度：中等 | |
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把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q． （1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ=______； （2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP•CQ的值是否改变？说明你的理由； （3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用） 
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| 3. 难度：中等 | |
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（1）如图1所示，在等边△ABC中，点D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE∥BC； （2）如图2所示，将（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，请问仍有AE∥BC？证明你的结论． 
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| 4. 难度：中等 | |
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操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况． 研究： （1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明； （2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由； （3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．  |
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| 5. 难度：中等 | |
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如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点． （1）求证：△ADE≌△BCF； （2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长． 
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| 6. 难度：中等 | |
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已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G． （1）如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC； （2）如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是______； （3）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是______． 对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明．  |
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| 7. 难度：中等 | |
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已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y． （1）用含y的代数式表示AE，得AE=______； （2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围； （3）设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值． 
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| 8. 难度：中等 | |
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已知：如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2． （1）图中哪个三角形与△FAD全等？证明你的结论； （2）探索线段BF、FG、EF之间的关系，并说明理由． 
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| 9. 难度：中等 | |
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操作：如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角板的直角顶点与点P重合（含30度角的直角三角板），并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E． 探究：①观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似，写出你的结论，并说明理由； ②当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比和面积比分别是多少？ 
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| 10. 难度：中等 | |
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如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C． （1）求证：△ABF∽△EAD； （2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长； （3）在（1）（2）的条件下，若AD=3，求BF的长．（计算结果可含根号） 
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| 11. 难度：中等 | |
如图，AD是直角△ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F．求证： ．
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| 12. 难度：中等 | |
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如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问： （1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由； （2）求证：△APE∽△FPA； （3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由． 
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| 13. 难度：中等 | |
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如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F， （1）试说明△ABD≌△BCE； （2）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由； （3）BD2=AD•DF吗？请说明理由． 
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| 14. 难度：中等 | |
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如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，且对角线BD⊥DC， 试问： ①△ABD与△DCB相似吗？请说明理由； ②若AD=2，BC=8，请求出BD的长． 
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| 15. 难度：中等 | |
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，对角线BD⊥CD，AD=3，AB=4，求边BC的长．
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| 16. 难度：中等 | |
如图，四边形ABCD中，AD⊥AB，BC⊥AB，BC=2AD，DE⊥CD交AB边于E，连接CE．请找出DE、AE、CE之间的等量关系并加以证明．
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| 17. 难度：中等 | |
已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD=16， ．（1）求AC的长； （2）求EG的长． 
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| 18. 难度：中等 | |
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如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F， （1）求证：△AFE∽△ABC； （2）若∠A=60°时，求△AFE与△ABC面积之比． 
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| 19. 难度：中等 | |
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如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形． （1）△ACF与△GCA相似吗？说说你的理由； （2）求∠1+∠2的度数． 
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| 20. 难度：中等 | |
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在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中点，P为线段AB上的一个动点（可以与A、B重合），并作∠MPD=90°，PD交BC（CB延长线或BC的延长线）于点D． （1）记BP的长为x，△BMP的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）是否存在这样的点P，使得△MPD与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 
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