四川省绵阳市高中2010届高三二诊（数学理）

一、选择题

1. 难度：简单

 在复平面内，复数z=所对应的点位于

A．第一象限         B．第二象限         C．第三象限         D．第四象限

2. 难度：简单

 已知a、b、c均为实数，则“ab”是“ac²bc²”成立的

A．充分不必要条件                       B．必要不充分条件 

C．充分必要条件                         D．既不充分又不必要条件

3. 难度：简单

 不等式组表示的平面区域是

A．非封闭图形                           B．直角三角形

C．锐角三角形                           D．钝角三角形

4. 难度：简单

 函数y=的定义域为

A．                             B．

C．∪                     D．∪

5. 难度：简单

 两直线x-2y-2=0与x+y-1=0夹角的正切值是

A．             B．-3               C．               D．3

6. 难度：中等

 已知tanθ>1，且sinθ+cosθ<0，则cosθ的取值范围是

A．        B．       C．         D．

7. 难度：中等

 若函数f (x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<）在同一周期内，当x=时取得最大值2，当x=时取得最小值-2，则函数f (+x)的解析式是

A．y=-2sin2x            B．y=-2cos2x            C．y=2sin2x         D．y=2cos2x

8. 难度：中等

 已知平面上两定点A、B的距离是2，动点M满足条件=1，则动点M的轨迹是

A．直线             B．圆               C．椭圆            D．双曲线

9. 难度：中等

 在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是

A．1                B．-1               C．            D．

10. 难度：中等

 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃，S₉，S₆成等差数列，则

A．S₆=S₃         B．S₆=-2S₃           C．S₆=S₃           D．S₆=2S₃

11. 难度：中等

 记a=sin(cos2010º)，b=sin(sin2010º)，c=cos(sin2010º)，d=cos(cos2010º)，则a、b、c、d中最大的是

A．a                B．b                C．c                D．d

12. 难度：困难

 设双曲线C：-=1（a>0，b>0）的右焦点为F，P是C上在第一象限内的点，Q为双曲线左准线上的点．若OP垂直平分FQ，则渐近线的倾斜角的范围是

A．(arctan，)                      B．(arctan，)

C．(，)                            D．(arctan2，)

二、填空题

13. 难度：简单

 不等式≥0的解集是          ．（用区间表示）

14. 难度：简单

 以椭圆+=1的右焦点为焦点，以坐标原点为顶点的抛物线方程是         ．

15. 难度：中等

 在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，角A、B、C成等差数列，a=8，b=7，则cosC=           ．

16. 难度：困难

 已知数列{a_n}满足：a_n = log_n+1(n+2)，n∈N^*，我们把使a₁·a₂·…·a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做数列{a_n}的理想数．给出下列关于数列{a_n}的几个结论：

① 数列{a_n}的最小理想数是2．

② {a_n}的理想数k的形式可以表示为 k = 4ⁿ-2（n∈N^*）．

③ 对任意n∈N^*，有a_n+1<a_n．

④ ．

其中正确结论的序号为                      ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量m=(cosx+sinx，cosx)，n=(cosx-sinx，2sinx)，设函数f (x) =m · n．

（1）求函数f (x)的最小正周期T；

（2）若角A是锐角三角形的最大内角，求f (A)的取值范围．

18. 难度：中等

已知圆C：（为参数，∈R）．O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线l，设切点为M．

（1）若点P运动到(1，3)处，求此时切线l的方程；

（2）求满足条件的点P的轨迹方程．

19. 难度：中等

2010年上海世博会大力倡导绿色出行，并提出在世博园区参观时可以通过植树的方式来抵消因出行产生的碳排放量．某游客非常支持这一方案，计划在游园期间种植n棵树，已知每棵树是否成活互不影响，成活率为p（0<p<1），设ξ表示他所种植的树中成活的棵数，ξ的数学期望为Eξ，方差为Dξ．

（1）若n=1，求Dξ的最大值；

（2）已知Eξ=3，标准差，求n，p的值并写出ξ的分布列．

20. 难度：中等

已知函数（x>0）．

（1）若b≥，求证≥（e是自然对数的底数）；

（2）设F(x)=+（x≥1，a∈R），试问函数F(x)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：困难

已知椭圆C：的焦点在y轴上，且离心率为．过点M(0，3)的直线l与椭圆C相交于两点A、B．

    （1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当||<时，求实数λ的取值范围．

22. 难度：困难

设数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项和为S_n（n∈N*），已知点(a_n，4S_n)在函数f (x)=x²+2x+1的图象上．

（1）证明{a_n}是等差数列，并求a_n；

（2）设m、k、p∈N*，m+p=2k，求证：＋≥；

（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由。