2010年浙江省高二第二学期期中考试数学（理科）试题

一、选择题

1. 难度：简单

复数（i为虚数单位）的值为       （ ▲ ）

A．2+i                            B．1+3i                   C．3+i                     D． 3+3i

2. 难度：简单

已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是      （  ▲  ）

A．                       B．

C．            D．

3. 难度：简单

若 ，则等于( ▲ )

A．                 B．                  C．                 D．n（n＋1）

4. 难度：简单

设F₁、F₂是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且的值为     （ ▲ ）

A．2      B．       C．4       D．8

5. 难度：简单

函数的部分图象如图所示，则＝（ ▲ ）

A．6      B．4       C．     D．

6. 难度：简单

若函数的导函数,则函数的单调递减区间是  (▲ )

A．（2，4）        B．（-3，-1）       C．（1，3）         D．（0，2）

7. 难度：简单

过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若则椭圆离心率的取值范围是（ ▲ ）

A．      B．     C．     D．

8. 难度：简单

设函数则                       ( ▲ )

A．在区间内均有零点

B．在区间内均无零点

C．在区间内有零点，在区间内无零点

D．在区间内无零点，在区间内有零点

9. 难度：简单

下列图像中，有一个是函数，（，且）的导数的图像，则( ▲ )

A．                         B．                             C．                         D．或

10. 难度：简单

对任意x∈R，函数f(x)的导数存在，若f′(x)＞f(x)且 a＞0，则以下正确的是（ ▲）

A．  B．  C．  D．

二、填空题

11. 难度：简单

已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距2c=4，过点，则双曲线的标准方程是                 。

12. 难度：简单

在平面直角坐标系中, 二元一次方程 (不同时为)表示过原点的直线. 类比以上结论有: 在空间直角坐标系中, 三元一次方程 （不同时为)表示                    。

13. 难度：简单

如图，函数的图象在点处的切线是L，则=          。

14. 难度：简单

设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则                       .

15. 难度：简单

已知函数是定义在R上的奇函数，， ，则不等式的解集是_____________________________.

16. 难度：简单

已知函数的导函数，且的值为整数，当时，所有可能取的整数值有且只有1个，则             .

17. 难度：简单

已知分别是椭圆的左、右焦点，上顶点为M。若在椭圆上存在一点P，分别连结PF₁，PF₂交y轴于A，B两点，且满足，则实数的取值范围为              。

三、解答题

18. 难度：简单

(本小题8分)

数列满足,先计算前4项后,猜想的表达式,并用数学归纳法证明.

19. 难度：简单

(本小题9分)

   如图所示，在直角梯形ABCP中，AB=BC=3，AP=7，CD⊥AP，现将沿折线CD折成60°的二面角P—CD—A，设E，F，G分别是PD，PC，BC的中点。

（I）求证：PA//平面EFG；

（II）若M为线段CD上的一个动点，问当M在什么位置时，MF与平面EFG所成角最大。

20. 难度：简单

(本小题10分)

已知抛物线在x轴的正半轴上，过M的直线与C相交于A、B两点，O为坐标原点。

（I）若m=1，且直线的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；

（II）问是否存在定点M，不论直线绕点M如何转动，使得恒为定值。

21. 难度：简单

（本小题满分12分）

已知函数，其定义域为（）,设.

（Ⅰ）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；

（Ⅱ）试判断的大小并说明理由；

（Ⅲ）求证：对于任意的,总存在，满足,并确定这样的的个数.