2008年福建省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数（a²-3a+2）+（a-1）i是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1
B．2
C．1或2
D．-1

2. 难度：中等

设集合，B={x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

设{a_n}是公比为正数的等比数列，若a₁=1，a₅=16，则数列{a_n}的前7项的和为（ ）
A．63
B．64
C．127
D．128

4. 难度：中等

函数f（x）=x³+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（-a）的值为（ ）
A．3
B．0
C．-1
D．-2

5. 难度：中等

某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则AC₁与平面A₁B₁C₁D₁所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
A．14
B．24
C．28
D．48

8. 难度：中等

若实数x、y满足则的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．（0，2）
C．（2，+∞）
D．[，+∞）

9. 难度：中等

函数f（x）=cosx （x∈R）的图象按向量（m，0）平移后，得到函数y=-f′（x）的图象，则m的值可以为（ ）
A．
B．π
C．-π
D．-

10. 难度：中等

在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c，若，则角B的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．或

11. 难度：中等

双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，若P为其上一点，且|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．（1，3）
B．（1，3]
C．（3，+∞）
D．[3，+∞]

12. 难度：中等

已知函数y=f（x），y=g（x）的导函数的图象如下图，那么y=f（x），y=g（x）的图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

若（x-2）⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a，则a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=    ．（用数字作答）

14. 难度：中等

若直线3x+4y+m=0与曲线（θ为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是     ．

15. 难度：中等

若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是    ．

16. 难度：中等

设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b，ab、∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集也是数域．有下列命题：
①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；
③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．
其中正确的命题的序号是    ．（把你认为正确的命题的序号填填上）

17. 难度：中等

已知向量，，且•．
（Ⅰ）求tanA的值；
（Ⅱ）求函数的值域．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3．若点（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N^*）在函数y=f′（x）的图象上，求证：点（n，Sn）也在y=f′（x）的图象上；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（a-1，a）内的极值．

20. 难度：中等

某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．

21. 难度：中等

如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|²+|OB|²＜|AB|²，求a的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+x）-x
（1）求f（x）的单调区间；
（2）记f（x）在区间[0，π]（n∈N^*）上的最小值为bx令an=ln（l+n）-bx
（i）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；
（ii）求证：．