2008-2009学年北京市东城区示范校高三（下）3月联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集为R，A={x|x＜3或x＞5}，B={x|-3＜x＜3}，则（ ）
A．∁_RA∪B=R
B．A∪∁_RB=R
C．∁_RA∪∁_RB=R
D．A∪B=R

2. 难度：中等

△ABC中，是A＞15°的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

3. 难度：中等

已知sinθ=，sinθ-cosθ＞1，则sin2θ=（ ）
A．-
B．-
C．-
D．

4. 难度：中等

若函数则f（log₄3）=（ ）
A．
B．3
C．
D．4

5. 难度：中等

两个平面α与β相交但不垂直，直线m在平面α内，则在平面β内（ ）
A．一定存在与直线m平行的直线
B．一定不存在与直线m平行的直线
C．一定存在与直线m垂直的直线
D．不一定存在与直线m垂直的直线

6. 难度：中等

若的展开式中存在常数项，则n的值可以是（ ）
A．10
B．11
C．12
D．14

7. 难度：中等

函数y=f（x）的定义域是（-∞，+∞），若对于任意的正数a，函数g（x）=f（x+a）-f（x）都是其定义域上的增函数，则函数y=f（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设函数f（x）在定义域D上满足f（）=-1，f（x）≠0，且当x，y∈D时，f（x）+f（y）=f（）．若数列{x_n}中，，（x_n∈D，n∈N^×）．则数列{f（x_n）}的通项公式为（ ）
A．f（x_n）=2^n-1
B．f（x_n）=-2^n-1
C．f（x_n）=-3ⁿ⁺¹
D．f（x_n）=3ⁿ

二、解答题

9. 难度：中等

若关于x的不等式|ax+2|＜6的解集为（-1，2），则实数a的值等于    ．

10. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₉成等比数列，则的值是     ．

11. 难度：中等

设向量，则的最大值为     ．

12. 难度：中等

某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿，再从5所一般大学中选3所填在第二档次的3个志愿栏内，其中B、C校必选，且B在C前，问此考生共有     种不同的填表方法（用数字作答）．

13. 难度：中等

已知点P是双曲线上除顶点外的任意一点，F₁、F₂分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF₁F₂的内切圆与F₁F₂切于点M，则|F₁M|•|F₂M|=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下左表，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是    ．

x	-2		4
f（x）	1	-1	1

15. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积．

16. 难度：中等

某次演唱比赛，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答三个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目．测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．
（I）求某选手在三次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；
（II）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望Eξ．

17. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，∠BAC=90°，D为棱的中点．
（I）证明：A₁D⊥平面ADC；
（II）求异面直线A₁C与C₁D所成角的大小；
（III）求平面A₁CD与平面ABC所成二面角的大小（仅考虑锐角情况）．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a，b的关系式；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，且其图象与x轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围．

19. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

20. 难度：中等

甲、乙、丙三名学生各自随机选择到A、B两个书店购书，甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率______．