2006年高考第一轮复习数学：14.5 导数的综合问题（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）
A．1，-1
B．1，-17
C．3，-17
D．9，-19

2. 难度：中等

若函数f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（ ）
A．0＜b＜1
B．b＜1
C．b＞0
D．b＜

3. 难度：中等

已知f（x）=2x³-6x²+m（m为常数）在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的最小值是（ ）
A．-37
B．-29
C．-5
D．以上都不对

4. 难度：中等

函数y=x⁴-8x²+2在[-1，3]上的最大值为（ ）
A．11
B．2
C．12
D．10

5. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+bx+c，其中a、b、c为实数，当a²-3b＜0时，f（x）是（ ）
A．增函数
B．减函数
C．常数
D．既不是增函数也不是减函数

二、解答题

6. 难度：中等

y=3x-x³的极大值是     ，极小值是     ．

7. 难度：中等

如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y=f（x）在区间（-3，-）内单调递增；
②函数y=f（x）在区间（-，3）内单调递减；
③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；
④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；
⑤当x=-时，函数y=f（x）有极大值．
则上述判断中正确的是    ．

8. 难度：中等

已知函数y=x³+ax²+bx+27在x=-1处有极大值，在x=3处有极小值，则a+b=    ．

9. 难度：中等

设函数f（x）=x³--2x+5．若对任意x∈[-1，2]，都有f（x）＞m，则实数m的取值范围是    ．

10. 难度：中等

函数y=2x³+3x²-12x+14在[-3，4]上的最大值为    ，最小值为    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2．
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）证明对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

13. 难度：中等

设函数f（x）=x³+mx²+nx+p在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根．
（1）求n的值；
（2）求证：f（1）≥2．

14. 难度：中等

对于函数y=f（x）（x∈D）若同时满足下列两个条件，则称f（x）为D上的闭函数．
①f（x）在D上为单调函数；
②存在闭区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．
（1）求闭函数y=-x³符合上述条件的区间[a，b]；
（2）若f（x）=x³-3x²-9x+4，判断f（x）是否为闭函数．

15. 难度：中等

如图所示，曲线段OMB是函数f（x）=x²（0＜x＜6）的图象，BA⊥x轴于A，曲线段OMB上一点M（t，f（t））处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q，
（1）试用t表示切线PQ的方程；
（2）试用t表示△QAP的面积g（t），若函数g（t）在[m，n]上单调递减，试求出m的最小值．

16. 难度：中等

直线y=a与函数f（x）=x³-3x的图象有三个互不相同的公共点，求a的取值范围．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=4x³+ax²+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=-12x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[-3，1]上的最值．

18. 难度：中等

已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有极大值32．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

已知f（x）=ax⁵-bx³+c（a＞0）在x=±1处有极值，且极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值．

20. 难度：中等

用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

21. 难度：中等

设x=-2与x=4是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点．
（1）求常数a、b；
（2）判断x=-2，x=4是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．