2009年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若函数y=2^x的定义域是P={1，2，3}，则该函数的值域是（ ）
A．{1，3}
B．{1，2，3}
C．{2，8}
D．{2，4，8}

2. 难度：中等

已知p：x＞1，q：|x|＞1，那么p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

数列{a_n}共有7项，其中五项是1，两项为2，则满足上述条件的数列共有（ ）
A．15个
B．21个
C．36个
D．42个

4. 难度：中等

已知三个不同的平面α，β，γ和三条不同的直线a，b，c，有下列四个命题：①若a∥b，b∥c则a∥c；
②若α∥β，α∩γ=b，β∩γ=a，则a∥b；③若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；④若a⊥α，α⊥β，则a∥β．其中正确命题的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

5. 难度：中等

已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2或m＜-1
B．m＞-2
C．-1＜m＜2
D．m＞2或-2＜m＜-1

6. 难度：中等

已知函数f（x）=sin （ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）
A．关于点（，0）对称
B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称
D．关于直线x=对称

7. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率为3，数列{}的前n项为S_n则S₂₀₁₁的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

函数y=f（x）的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式f（x）＜f（-x）+2x的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

在平面直角坐标中，x，y满足不等式组点P（x，y）所组成平面区域为F，则三点中，在F内的所有点是    ．

10. 难度：中等

若α是钝角，且，则的值为    ．

11. 难度：中等

若二项式的展开式共7项，则n的值为    ，展开式中的常数项为    ．

12. 难度：中等

设直线l：x-2y+2=0过椭圆的左焦点F和一个顶点B（如右图），则这个椭圆的离心率e=    ．

13. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F是AD的中点，G为AB上一点，若CF⊥FG，则∠C₁FG的大小是    ．

14. 难度：中等

已知f（x）是奇函数，且对定义域内任意自变量x满足f（1-x）=f（1+x），当x∈（0，1]时，f（x）=e^x，则当x∈[-1，0）时，f（x）=    ，当x∈（4k，4k+1]，k∈N^*时，f（x）=    ．

15. 难度：中等

已知递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

16. 难度：中等

在等腰△ABC中，AB=AC，且．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若，求．

17. 难度：中等

如图，ABCD是边长为2a的正方形，ABEF是矩形，且二面角C-AB-F是直二面角，AF=a，G是EF的中点．
（Ⅰ）求证：平面AGC⊥平面BGC；
（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B-AC-G的大小．

18. 难度：中等

甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在8，9，10环，且每次射击成绩互不影响．已知甲、乙射击命中环数的概率如表：

	8环	9环	10环
甲	0.2	0.45	0.35
乙	0.25	0.4	0.35

（Ⅰ）若甲、乙两运动员各射击一次，求甲运动员击中8环且乙运动员击中9环的概率；
（Ⅱ）若甲、乙两运动员各自射击两次，求这4次射击中恰有3次击中9环以上（含9环）的概率．

19. 难度：中等

如图，已知定圆C：x²+（y-3）²=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（-1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．
（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．

20. 难度：中等

设x₁，x₂是函数的两个极值点，且|x₁-x₂|=2．
（Ⅰ）证明：0＜a≤1；
（Ⅱ）证明：．