2010年广东省高考数学冲刺预测试卷04（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=log_ax的图象经过点（4，2），则实数a的值为     ．

2. 难度：中等

的展开式中的常数项为    ．

3. 难度：中等

在△ABC中，A，B所对的边分别为a，b，且，则∠B的大小为    ．

4. 难度：中等

如图，给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则这样的x的值的集合为    ．

5. 难度：中等

极坐标系中，曲线ρ=-4sinθ和ρcosθ=1相交于点A，B，则线段AB的长度为    ．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|-a，若对任意实数x都有f（x）＞0成立，则实数a的取值范围为    ．

7. 难度：中等

如图，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC于点P，PC=2，PA=8，则cos∠ACB的值为     ．

8. 难度：中等

设向量，向量，0≤α＜π．
（1）若向量⊥，求tanα的值；
（2）求的最大值及此时α的值．

9. 难度：中等

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

周销售量	2	3	4
频数	20	50	30

（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（1）当a=-1时，求函数f（x）在点x=1处的切线方程及f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的极值．

11. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，P是侧棱AA₁上任意一点．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）判断直线B₁P与平面ACC₁A₁是否垂直，请证明你的结论；
（3）当BC₁⊥B₁P时，求二面角C-B₁P-C₁的余弦值．

12. 难度：中等

已知曲线C上任一点P到直线x=1与点F（-1，0）的距离相等．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线y=x+b与曲线C交于点A，B，问在直线l：y=2上是否存在与b无关的定点M，使得直线MB与MA关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

13. 难度：中等

已知点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直线上，点A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…，A_n（x_n，0）顺次为x轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对于任意n∈N^*，点A_n，B_n，A_n+1构成以∠B_n为顶角的等腰三角形，设△A_nB_nA_n+1的面积为S_n，
（1）证明：数列{y_n}是等差数列；
（2）求S_2n-1（用a和n的代数式表示）；
（3）设数列前n项和为T_n，判断T_n与（n∈N^*）的大小，并证明你的结论．

二、选择题

14. 难度：中等

设全集U={x|x＞0}，集合A={x|x＞1}，则∁_UA=（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|x＜1}
C．{x|x≤1}
D．{x|0＜x≤1}

15. 难度：中等

若x，y∈R，i为虚数单位，且x+y+（x-y）i=3-i，则复数x+yi在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

16. 难度：中等

一个几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是边长为1的正三角形，那么这个几何体的侧面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

首项为-30的等差数列，从第7项开始为正，则公差d的取值范围是（ ）
A．5≤d＜6
B．d＜6
C．5＜d≤6
D．d＞5

18. 难度：中等

设双曲线x²-y²=1的两条渐近线与直线x=围成的三角形区域（包含边界）为D，点P（x，y）为D内的一个动点，则目标函数z=x-2y的最小值为（ ）
A．-2
B．-
C．0
D．

19. 难度：中等

函数f（x）=Asinωx（ω＞0），对任意x有，且，那么等于（ ）
A．a
B．a
C．a
D．-a

20. 难度：中等

下列命题：①∀x∈R，x²≥x；②∃x∈R，x²≥x；③4≥3；④“x²≠1”的充要条件是“x≠1，或x≠-1”．其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

21. 难度：中等

设a，b∈（0，1），则关于x的方程x²+2ax+b=0在（-∞，+∞）上有两个零点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．