2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标版）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（ ）
A．（0，2）
B．[0，2]
C．{0，2]
D．{0，1，2}

2. 难度：中等

已知复数，是z的共轭复数，则=（ ）
A．
B．
C．1
D．2

3. 难度：中等

曲线y=在点（-1，-1）处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x-1
C．y=-2x-3
D．y=-2x-2

4. 难度：中等

如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P（，-），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知命题p₁：函数y=2^x-2^-x在R为增函数，p₂：函数y=2^x+2^-x在R为减函数，则在命题q₁：p₁∨p₂，q₂：p₁∧p₂，q₃：（￢p₁）和q₄：p₁∧（￢p₂）中，真命题是（ ）
A．q₁，q₃
B．q₂，q₃
C．q₁，q₄
D．q₂，q₄

6. 难度：中等

某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（ ）
A．100
B．200
C．300
D．400

7. 难度：中等

如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设偶函数f（x）满足f（x）=2^x-4（x≥0），则{x|f（x-2）＞0}=（ ）
A．{x|x＜-2或x＞4}
B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6}
D．{x|x＜-2或x＞2}

9. 难度：中等

若，α是第三象限的角，则=（ ）
A．
B．
C．2
D．-2

10. 难度：中等

设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．πa²
B．
C．
D．C₁

11. 难度：中等

已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，10）
B．（5，6）
C．（10，12）
D．（20，24）

12. 难度：中等

已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程式为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x₁，x₂，…x_N和y₁，y₂，…y_N，由此得到N个点（x_i，y_i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y_i≤f（x_i）（i=1，2，…，N）的点数N₁，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为     ．

14. 难度：中等

正视图为一个三角形的几何体可以是    （写出三种）

15. 难度：中等

过点A（4，1）的圆C与直线x-y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=    ．

17. 难度：中等

设数列满足a₁=2，a_n+1-a_n=3•2^2n-1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求数列的前n项和S_n．

18. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点
（1）证明：PE⊥BC
（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值

19. 难度：中等

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

是否需要志愿       性别	男	女
需要	40	30
不需要	160	270

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：

P（k^2＞k）	0.0	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

20. 难度：中等

设F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，过F₁斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（1）求E的离心率；
（2）设点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求E的方程

21. 难度：中等

设函数f（x）=e^x-1-x-ax²．
（1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．

22. 难度：中等

如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC²=BE×CD．

23. 难度：中等

已知直线C₁（t为参数），C₂（θ为参数），
（Ⅰ）当α=时，求C₁与C₂的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C₁的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

24. 难度：中等

设函数f（x）=|2x-4|+1．
（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．