2010年高三数学综合检测试卷3（必修4）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

与-463°终边相同的角可以表示为（k∈Z）（ ）
A．k•360°+463°
B．k•360°+103°
C．k•360°+257°
D．k•360°-257°

2. 难度：中等

已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（ ）
A．3
B．2
C．4
D．

3. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x-2，则（ ）
A．f（sin）＜f（cos）
B．f（sin）＞f（cos）
C．f（sin1）＜f（cos1）
D．f（sin）＞f（cos）

4. 难度：中等

已知A（5，7），B（2，3），将按向量（4，1）平移后的坐标为（ ）
A．（-3，-4）
B．（-4，-3）
C．（1，-3）
D．（-3，1）

5. 难度：中等

若tanα=，则sin²α+cos²α的值是（ ）
A．-
B．
C．5
D．-5

6. 难度：中等

若θ∈[-，]，则函数y=cos（θ+）+sin2θ的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（ ）

A．A=4
B．ω=1
C．
D．B=4

8. 难度：中等

已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，-1）则|2-|的最大值，最小值分别是（ ）
A．4，0
B．4，4
C．16，0
D．4，0

9. 难度：中等

若sinα+cosα=（0＜α＜π），则sin2α等于（ ）
A．
B．-
C．
D．-

10. 难度：中等

若函数y=2x²+4x的图象按a平移后得到函数y=2x²的图象，则a等于（ ）
A．（2，-1）
B．（-1，-2）
C．（1，2）
D．（-2，1）

11. 难度：中等

，向量与的位置关系为（ ）
A．垂直
B．平行
C．夹角为
D．不平行也不垂直

12. 难度：中等

在边长为1的等边△ABC中，设=（ ）
A．
B．0
C．
D．3

二、解答题

13. 难度：中等

cos24°cos36°-sin24°sin36°=    ．

14. 难度：中等

已知=（3，-4），=（2，3），则2||-3•=    ．

15. 难度：中等

函数y=cos2x-8cosx的值域是     ．

16. 难度：中等

如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系为：，那么单摆来回摆动一次所需的时间为     秒．

17. 难度：中等

||=4，||=5，|-|=，则，的夹角的大小为     ．

18. 难度：中等

2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin²θ-cos²θ的值等于    ．

19. 难度：中等

（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图．
（2）并说明该函数图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样平移和伸缩变换得到的．

20. 难度：中等

已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），．
（1）若，求角α的值；
（2）若，求的值．

21. 难度：中等

设函数f（x）=•，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．
（1）若f（x）=1-，且x∈[-，]，求x；
（2）若函数y=2sin2x的图象按向量=（m，n），（|m|＜）平移后得到函数y=f（x）的图象，求实数m、n的值．

22. 难度：中等

某港口水的深度y（单位：m）是时间t（单位：h）的函数，记作y=f（t），如表是某日的水深数据：

t/h		3	6	9	12	15	18	21	24
y/m	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象．
（1）试根据以上数据，求出y=f（t）的近似表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上被记为是安全的（船舶停靠时只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港口，则它至多能在港内停留多少时间？（忽略进出港所需时间）

23. 难度：中等

定义在非零实数集上的奇函数f（x）在（-∞，0）上是减函数，且f（-3）=0．
（1）求f（3）的值；
（2）求满足f（x）＞0的x的集合．