2009年高考数学调研试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知平面向量=（1，2），=（2x，x+2），若⊥，则实数x=    ．

2. 难度：中等

复数在复平面上对应的点位于第    象限．

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为2，若a₂，a₄，a₅成等比数列，则a₂=    ．

4. 难度：中等

如图，△ABC中，，设（m、n为实数），则m-n=    ．

5. 难度：中等

已知一个长方体的长、宽、高分别为5米、4米、3米，则其外接球的表面积为    米²．

6. 难度：中等

若实数x，y满足，则z=x+3y的最大值为    ．

7. 难度：中等

已知向量和的夹角为120°，，则=    ．

8. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃=-6，a₇=6，则下列四个命题中真命题的序号
为    ．①S₄＞S₆②S₄=S₅③S₆=S₅④S₆＞S₅

9. 难度：中等

设α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．
其中正确命题的序号为    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则=    ．

11. 难度：中等

已知关于x的一元二次不等式ax²+2x+b＞0的解集为，则（其中a＞b）的最小值为    ．

12. 难度：中等

设等差数列{a_n}的各项均为整数，其公差d≠0，a₅=6，若（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比数列，则n₁的值为    ．

13. 难度：中等

已知向量=（sinθ，cosθ-2sinθ），=（1，2）．
（1）若，求tanθ的值；
（2）若，求θ的值．

14. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D、E分别为BC、B₁C的中点．
（1）求证：DE∥平面ABB₁A₁；
（2）求证：平面ADE⊥平面B₁BC．

15. 难度：中等

已知集合，B={x|x²-2x-a²-2a＜0}．
（1）当a=4时，求A∩B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=5，S₅=35，设数列{b_n}满足a_n=log₂b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设G_n=a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n，求G_n．

17. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，求实数m的取值范围；
（3）某同学发现：总存在正实数a、b（a＜b），使a^b=b^a．试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请写出a的取值范围（不需要解答过程）．

18. 难度：中等

已知函数，数列{a_n}满足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若对于n∈N^*，均有a_n+1=a_n成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N^*，均有a_n+1＞a_n成立，求实数a的取值范围；
（3）请你构造一个无穷数列{b_n}，使其满足下列两个条件，并加以证明：①b_n＜b_n+1，n∈N^*；②当a为{b_n}中的任意一项时，{a_n}中必有某一项的值为1．

19. 难度：中等

已知二项式的展开式中各项系数的和为256．
（1）求n．
（2）求展开式中的常数项．

20. 难度：中等

设矩阵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标伸长到原来的2倍的伸压变换矩阵．
（1）求逆矩阵M^-1；
（2）求椭圆在矩阵M^-1作用下变换得到的新曲线的方程．

21. 难度：中等

已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，7）在矩阵M的变换下得到点P'（15，9）．
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量α．

22. 难度：中等

有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面（编号为①②③④⑤⑥）上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5．若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用ξ表示更换费用．
（1）求①号面需要更换的概率；
（2）求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；
（3）写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．