1982年全国统一高考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

填表：

2. 难度：中等

求（-1+i）²⁰展开式中第15项的数值；

3. 难度：中等

求的导数．

4. 难度：中等

在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形．
（1）；
（2）．

5. 难度：中等

已知圆锥体的底面半径为R，高为H求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h（如图）．

6. 难度：中等

设0＜x＜1，a＞0，a≠1，比较|log_a（1-x）|与|log_a（1+x）|的大小（要写出比较过程）．

7. 难度：中等

如图，已知锐角∠AOB=2α内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数c²，今以O为极点，∠AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线．

8. 难度：中等

已知空间四边形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点（如图）求证MNPQ是一个矩形．

9. 难度：中等

抛物线y²=2px的内接三角形有两边与抛物线x²=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x²=2qy相切．

10. 难度：中等

已知数列a₁，a₂，…a_n，…和数列b₁，b₂，…，b_n…，其中a₁=p，b₁=q，a_n=pa_n-1，b_n=qa_n-1+rb_n-1（n≥2），（p，q，r是已知常数，且q≠0，p＞r＞0），用p，q，r，n表示b_n，并用数学归纳法加以证明．