1997年全国统一高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x²-2x-3＜0}，集合M∩N=（ ）
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|0≤x＜2}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0≤x≤2}

2. 难度：中等

如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么实数a等于（ ）
A．-6
B．-3
C．
D．

3. 难度：中等

函数y=tan（）在一个周期内的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P-BC-A的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（ ）
A．
B．π
C．2π
D．4π

6. 难度：中等

满足arccos（1-x）≥arccosx的x的取值范围是（ ）
A．[-1，-]
B．[-，0]
C．[0，]
D．[，1]

7. 难度：中等

将y=2^x的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log₂（x+1）的图象（ ）
A．先向左平行移动1个单位
B．先向右平行移动1个单位
C．先向上平行移动1个单位
D．先向下平行移动1个单位

8. 难度：中等

长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）
A．20π
B．25π
C．50π
D．200π

9. 难度：中等

曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（ ）
A．（x-1）²（y-1）=1
B．y=
C．
D．

10. 难度：中等

函数y=cos²x-3cosx+2的最小值为（ ）
A．2
B．0
C．
D．6

11. 难度：中等

椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（ ）
A．π
B．2π
C．π
D．π

13. 难度：中等

定义在区间（-∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：
①f（b）-f（-a）＞g（a）-g（-b）；
②f（b）-f（-a）＜g（a）-g（-b）；
③f（a）-f（-b）＞g（b）-g（-a）；
④f（a）-f（-b）＜g（b）-g（-a），
其中成立的是（ ）
A．①与④
B．②与③
C．①与③
D．②与④

14. 难度：中等

不等式组的解集是（ ）
A．{x|0＜x＜2}
B．{x|0＜x＜2.5}
C．
D．{x|0＜x＜3}

15. 难度：中等

四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）
A．150种
B．147种
C．144种
D．141种

二、解答题

16. 难度：中等

已知的展开式中x³的系数为，常数a的值为    ．

17. 难度：中等

已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是     ．

18. 难度：中等

的值为    ．

19. 难度：中等

已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是     ．

20. 难度：中等

已知复数，．复数，z²ω³在复数平面上所对应的点分别为P，Q．
证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c_n=a_n+b_n，S_n为数列{c_n}的前n项和．求．

22. 难度：中等

甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

23. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）、证明AD⊥D₁F；
（2）、求AE与D₁F所成的角．

24. 难度：中等

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜．
（1）当x∈（0，x₁）时，证明x＜f （x）＜x₁；
（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x对称，证明x＜．

25. 难度：中等

设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程．