2007年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合等于（ ）
A．{x|1＜x＜2}
B．{x|1＜x＜2，或x＞3}
C．{x|0≤x＜1}
D．{x|0≤x＜1，或x＞3}

2. 难度：中等

设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β、那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题

3. 难度：中等

已知直线y=a（a＞0）和圆x²+y²+2x-2y-2=0相切，那么a的值是（ ）
A．5
B．3
C．2
D．1

4. 难度：中等

若等比数列{a_n}的各项都是正数，a₁=3，a₁+a₂+a₃=21，则a₃+a₄+a₅的值为（ ）
A．84
B．63
C．42
D．21

5. 难度：中等

在的展开式常数项是（ ）
A．-15
B．15
C．-60
D．60

6. 难度：中等

在△ABC中，已知A＜B（，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．sinA＜sinB
B．cosA＜cosB
C．tanA＜tanB
D．cotA＜cotB

7. 难度：中等

已知k∈Z，，若，则△ABC是直角三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）满足的值为（ ）
A．3
B．4
C．-3
D．-4

二、解答题

9. 难度：中等

已知向量a=（1，3），b=（x，-1），且a∥b，则实数x=    ．

10. 难度：中等

曲线y=x³在点（1，1）切线方程为     ．

11. 难度：中等

已知函数=    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式组，所表示的平面区域的面积是    ；变量z=x+3y的最大值是    ．

13. 难度：中等

设双曲线，则双曲线的离心率e=    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=2^x，对于任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有下列命题
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；②f=f（x₁）+f（x₂）；③；④．其中正确的命题序号是     ．

15. 难度：中等

△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角C的大小；
（2）若a，b，c成等比数列，求sinA的值．

16. 难度：中等

甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.60，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．
（Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率；
（Ⅱ）本场比赛乙队以3：2取胜的概率．（精确到0.001）

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥底面ABCD．
（1）求证：平面PAB⊥平面PAD
（2）求二面角A-PD-B的大小；
（3）设AB=1，求点D到平面PBC的距离．

18. 难度：中等

设a＞0，函数
（1）讨论f（x）的单调性
（2）求f（x）在区间[a，2a]上的最小值．

19. 难度：中等

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，记O为坐标原点．
（1）求的值；
（2）设，当三角形OAB的面积S∈[2，]时，求λ的取值范围．

20. 难度：中等

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①；②a_n≤M，其中n∈N^*，M是与n无关的常数．
（1）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₃=4，S₃=18，证明：{S_n}∈W
（2）设数列{b_n}的通项为b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，求M的取值范围；
（3）设数列{c_n}的各项均为正整数，且{c_n}∈W，证明：c_n＜c_n+1．