2011年《龙门亮剑》高三数学（文科）一轮复习：第1章第6节（人教AB通用）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对于不等式＜n+1（n∈N^*），某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n=1时，＜1+1，不等式成立．
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，不等式成立，即＜k+1，则当n=k+1时，=＜==（k+1）+1，∴当n=k+1时，不等式成立．
则上述证法（ ）
A．过程全部正确
B．n=1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n=k到n=k+1的推理不正确

2. 难度：中等

用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xⁿ+yⁿ能被x+y整除”的第二步是（ ）
A．假使n=2k+1时正确，再推n=2k+3正确（k∈N^*）
B．假使n=2k-1时正确，再推n=2k+1正确（k∈N^*）
C．假使n=k时正确，再推n=k+1正确（k∈N^*）
D．假使n≤k（k≥1）时正确，再推n=k+2时正确（k∈N^*）

3. 难度：中等

某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N^*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（ ）
A．当n=6时，该命题不成立
B．当n=6时，该命题成立
C．当n=4时，该命题不成立
D．当n=4时，该命题成立

4. 难度：中等

用数学归纳法证明等式1+3+5+…+（2n-1）=n²（n∈N^*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）
A．1+3+5+…+（2k+1）=k²
B．1+3+5+…+（2k+1）=（k+1）²
C．1+3+5+…+（2k+1）=（k+2）²
D．1+3+5+…+（2k+1）=（k+3）²

5. 难度：中等

已知1+2×3+3×3²+4×3²+…+n×3^n-1=3ⁿ（na-b）+c对一切n∈N^*都成立，则a、b、c的值为（ ）
A．a=，b=c=
B．a=b=c=
C．a=0，b=c=
D．不存在这样的a，b，c

6. 难度：中等

在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•3•…•（2n-1）（n∈N^*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（ ）
A．2k+1
B．2（2k+1）
C．
D．

二、解答题

7. 难度：中等

若f（n）=1²+2²+3²+…+（2n）²，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是     ．

8. 难度：中等

如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来（n=1，2，3，…），则第n-2（n≥3，n∈N^*）个图形中共有     个顶点．

9. 难度：中等

下面三个判断中，正确的是    
①f（n）=1+k+k²+…+kⁿ（n∈N^*），当n=1时，f（n）=1；
②f（n）=1+++…+（n∈N^*），当n=1时，f（n）=1++；
③f（n）=++…+（n∈N^*），则f（k+1）=f（k）+++．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=，a_n+1=sin（a_n）（n∈N^*）．
证明：0＜a_n＜a_n+1＜1．

11. 难度：中等

小亮看到路边上有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交2元钱可以玩一次掷硬币游戏，每次同时掷两枚硬币，如果出现两枚硬币正面朝上，奖金5元；如果是其它情况，则没有奖金（每枚硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况）．小亮拿不定主意究竟是玩还是不玩，请同学们帮帮忙！
（1）求出中奖的概率；
（2）如果有100人，每人玩一次这种游戏，大约有 ______人中奖，奖金共约是 ______元，设摊者约获利 ______元；
（3）通过以上“有奖”游戏，你从中可得到什么启示？

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a₁=1，（n=1，2，…）．
（1）求α，β的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有a_n＞α；
（3）记（n=1，2，…），求数列{b_n}的前n项和S_n．