2010年东北育才、大连育明高三第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集是U={1，2，3，4，5，6}，M={y|y=2x-1，x=1，2，3}，N={4，5，6}，则N∪C_UM=（ ）
A．{2}
B．{2，4，5，6}
C．{1，2，3，4，6}
D．{4，6}

2. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组则2x+y的最大值是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

3. 难度：中等

函数f（x）=lnx-的零点所在的大致区间是（ ）
A．（1，2）
B．（2，3）
C．（e，3）
D．（e，+∞）

4. 难度：中等

下列选项中正确的是（ ）
A．命题p：∃x∈R，tanx=1；命题q：∀x∈R，x²-x+1＞0，则命题“p∧¬q”是真命题
B．集合M={x|x²＜4}，N={x|x²-2x-3＜0}，则M∩N={x|-2＜x＜3}
C．命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²-3x+2≠0”
D．函数f（x）=x²+2（m-2）x+4在[1，+∞）上为增函数，则m的取值范围是m＜1

5. 难度：中等

双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（ ）
A．（-∞，0）
B．（-3，0）
C．（-12，0）
D．（-60，-12）

6. 难度：中等

对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（ ）
A．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
B．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线
C．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α
D．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α

7. 难度：中等

已知=（x，-3），=（-2，1），=（1，y），若⊥（-），∥（+），则与的夹角为（ ）
A．0
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知等差数列a_n的前n项和为S_n，且a₂+a₄=-30，a₁+a₄+a₇=-39，则使得S_n达到最小值的n是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

9. 难度：中等

函数是（ ）
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数

10. 难度：中等

某几何体的三视图如图，它的表面积为（ ）

A．2
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比q＞0且q≠1，又a₆＜0，则（ ）
A．a₅+a₇＞a₄+a₈
B．a₅+a₇＜a₄+a₈
C．a₅+a₇=a₄+a₈
D．|a₅+a₇|＞|a₄+a₈|

12. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），过点A（，0）的直线与抛物线C交于M，N两点，且，过点M，N向直线x=-作垂线，垂足分别为P，Q，△MAP，△NAQ的面积分别为记为S₁与S₂，那么（ ）
A．S₁：S₂=2：1
B．S₁：S₂=5：2
C．S₁：S₂=4：1
D．S₁：S₂=7：1

二、解答题

13. 难度：中等

从5名上海世博会志愿者中选3人分别到世博会园区内的瑞士国家馆、西班牙国家馆、意大利国家馆服务，要求每个场馆安排1人，且这5人中甲、乙两人不去瑞士国家馆，则不同的安排方案共有    种．

14. 难度：中等

的展开式中常数项为    ．

15. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=，设，则数列的前19项和为     ．

16. 难度：中等

如图，，现将△ADC沿DC边折起，使二面角A-DC-B的大小为60°，此时直线AB与平面BCD所成角的正弦值为    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求bc的最大值．

18. 难度：中等

甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，记ξ=|a-b|．
（I）求ξ的分布列及期望；
（II）若ξ≤1，则称“甲乙心有灵犀”，求“甲乙心有灵犀”的概率．

19. 难度：中等

如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱CC₁的中点．
（I）求三棱锥D₁-ACE的体积；
（II）求异面直线D₁E与AC所成角的余弦值；
（III）求二面角A-D₁E-C的正弦值．

20. 难度：中等

已知点M是离心率是的椭圆C：（a＞b＞0）上一点，过点M作直线MA、MB交椭圆C于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂．
（I）若点A，B关于原点对称，求k₁•k₂的值；
（II）若点M的坐标为（0，1），且k₁+k₂=3，求证：直线AB过定点；并求直线AB的斜率k的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x．
（I）证明函数f（x）在区间（0，1）上单调递减；
（II）若不等式≤e²对任意的n∈N^*都成立，（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

22. 难度：中等

如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．
（1）求证：圆心O在直线AD上．
（2）求证：点C是线段GD的中点．

23. 难度：中等

已知直线的参数方程为，圆的极坐标方程为ρ=2cosθ+4sinθ．
（I）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（II）求直线被圆截得的弦长．

24. 难度：中等

已知α₁，α₂，…α_n∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n．