2010年江苏省南通市高考数学信息试卷（一）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设U=R，M={x|x²-x≤0}，函数的定义域为N，则M∩N=    ．

2. 难度：中等

已知复数z满足，则=   

3. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图．若它的表面积为7π，则正（主）视图中a=    ．

4. 难度：中等

将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”．直角三角形具有性质：“两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方”．仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的部分图象如图所示，则ω=    ．

6. 难度：中等

今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：

月平均气温x（℃）	17	13	8	2
月销售量y（件）	24	33	40	55

由表中数据算出线性回归方程中的b≈-2．气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量的件数约为    ．

7. 难度：中等

若x，y满足约束条件，则z=4x+3y的最小值为     ．

8. 难度：中等

如图所示的算法流程图，当输入a=2，b=3，c=1时，运行程序最后输出的结果为     ．

9. 难度：中等

在△ABC中，AB=1，BC=2，B=60°，则AC=    ．

10. 难度：中等

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则双曲线C的离心率为     ．

11. 难度：中等

若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），其前项和为S_n，则S₄-4a₄=    ．

12. 难度：中等

已知函数时，则下列结论不正确是     ．
（1）∀x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
（2）∃m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实数根；
（3）∀x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）∃k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-2x²+2有唯一零点，则下列区间必存在零点的是     ．

14. 难度：中等

数列{a_n}满足下列条件：a₁=1，且对于任意的正整数n，恒有a_2n=a_n+n，则a₂¹⁰⁰的值为     ．

15. 难度：中等

已知向量（α∈[-π，0]）．向量m=（2，1），，且mn）．
（Ⅰ）求向量；
（Ⅱ）若，0＜β＜π，求cos（2α-β）．

16. 难度：中等

某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率．

17. 难度：中等

如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，，M是线段B₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求三棱锥D₁-AB₁C的体积．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T：y=x²的切线，其切点分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求x₁与x₂的值；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线MN相切，求圆E的面积；
（Ⅲ）过原点O（0，0）作圆E的两条互相垂直的弦AC，BD，求四边形ABCD面积的最大值．

19. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（c＞0）的导函数的图象如图所示：
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令，求y=g（x）在[1，2]上的最大值．

20. 难度：中等

已知点列B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n），…（n∈N*）顺次为直线上的点，点列A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…，A_n（x_n，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点A_n、B_n、A_n+1构成以B_n为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）求证：对任意的n∈N*，x_n+2-x_n是常数，并求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在等腰直角三角形A_nB_nA_n+1？请说明理由．