2002年北京市春季高考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

不等式组的解集（ ）
A．{x|-1＜x＜1}
B．{x|0＜x，3}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|-1＜x＜3}

2. 难度：中等

已知三条直线m、n、l，三个平面a、b、g，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知椭圆的焦点是F₁、F₂，P是椭圆上的一个动点，如果延长F₁P到Q，使得|PQ|=|PF₂|，那么动点Q的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线

4. 难度：中等

如果θ∈（π/2，π）那么复数（1+i）（cosθ+isinθ）的辐角的主值是（ ）
A．θ+9π/4
B．θ+π/4
C．θ-π/4
D．θ+7π/4

5. 难度：中等

若角α满足条件sin2α＜0，cosα-sinα＜0，则α在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

6. 难度：中等

从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作．若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）
A．280种
B．240种
C．180种
D．96种

7. 难度：中等

在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

圆2x²+2y²=1与直线xsinq+y-1=0 的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离或相切
D．不能确定

9. 难度：中等

到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）
A．x-y=0
B．x+y=0
C．|x|-y=0
D．|x|-|y|=0

10. 难度：中等

在极坐标系中，如果一个圆的方程p=4cosθ+6sinθ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（ ）
A．psinθ=3
B．psinθ=-3
C．pcosθ=2
D．pcosθ=-2

11. 难度：中等

函数y=2^sinx的单调增区间是（ ）
A．[2kπ-π/2，2kπ+π/2]（k∈Z）
B．[2kπ+π/2，2kπ+3π/2]（k∈Z）
C．[2kπ-π，2kπ]（k∈Z）
D．[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）

12. 难度：中等

对于二项式的展开式（n∈N^*），四位同学作出了四种判断：
①存在n∈N^*，展开式中有常数项；
②对任意n∈N^*，展开式中没有常数项；
③对任意n∈N^*，展开式中没有x的一次项；
④存在n∈N^*，展开式中有x的一次项．
上述判断中正确的是（ ）
A．①与③
B．②与③
C．①与④
D．②与④

13. 难度：中等

在（1/x+x²）⁶的展开式中，x³的系数和常数项依次是（ ）
A．20，20
B．15，20
C．20，15
D．15，15

14. 难度：中等

若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A．13项
B．12项
C．11项
D．10项

15. 难度：中等

用一张钢板制作一个容积为4 m³的无盖长方体水箱．可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m），若既要够用，又要所剩最少，则应选钢板的规格是（ ）
A．2×5
B．2×5.5
C．2×6.1
D．3×5

二、解答题

16. 难度：中等

若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是     ．

17. 难度：中等

如果cosθ=-，θ∈（π，），那么cos（θ+）的值等于    ．

18. 难度：中等

已知A，B，C三点在球心为O，半径为1的球面上，且几何体O-ABC为正四面体，那么点O到平面ABC的距离为    ．

19. 难度：中等

对于任意两个复数z₁=x₁+y₁i，z₂=x₂+y₂i（x₁、y₁、x₂、y₂为实数），定义运算⊙为：
z₁⊙z₂=x₁x₂+y₁y₂．设非零复数w₁、w₂在复平面内对应的点分别为P₁、P₂，点为O为坐标原点．如果w₁⊙w₂=0，那么在△P₁OP₂中，∠P₁OP₂的大小为     ．

20. 难度：中等

在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tg（）+tg（）tg（）+tg（）的值．

21. 难度：中等

已知函f（x）是偶函数，而且在（0，+∞）上是增函数，判断f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断．

22. 难度：中等

在三棱锥S-ABC中，如图，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，
BC=，SB=．
（1）证明：SC⊥BC；
（2）求侧面SBC与底面ABC所成的二面角大小；
（3）（理）求异面直线SC与AB所成的角的大小（用反三角函数表示）．
（文）求三棱锥的体积V_S-ABC．

23. 难度：中等

假设A型进口车关税税率在2002年是100%，在2007年是25%，2002年A型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．
（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2002年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2007年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？
（2）某人在2002年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1.8%（5年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么5年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降价后的B型车一辆？

24. 难度：中等

已知点的序列A_n（x_n，0），n∈N^*，其中x_l=0，x₂=a（a＞0），A₃是线段A_lA₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，…．
（1）写出x_n与x_n-1、x_n-2之间的关系式（n≥3）；
（2）设a_n=x_n+1-x_n，计算a_l，a₂，a₃，由此推测数列{a_n}的通项公式，并加以证明．

25. 难度：中等

已知某椭圆的焦点是F₁（-4，0）、F₂（4，0），过点F₂，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|+|F₂B|=10．椭圆上不同的两点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列．
（1）求该椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标；
（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围．