2010年北京市延庆县高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知z（1-i）=1，则复数z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

下列参数方程（t为参数）中，与方程y²=x表示同一曲线的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

下列命题中的假命题是（ ）
A．∀x＞0且x≠1，都有x+＞2
B．∀a∈R，直线ax+y=a恒过定点（1，0）
C．∃m∈R，使f（x）=（m-1）•x^m2-4m+3是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减
D．∀φ∈R，函数y=sin（2x+φ）都不是偶函数

4. 难度：中等

已知向量与的夹角为120°，，则等于（ ）
A．5
B．4
C．3
D．1

5. 难度：中等

已知圆C：（x-a）²+（y-2）²=4及直线l：x-y+3=0，当直线l被C截得的弦长为时，则a等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（ ）

A．90
B．75
C．60
D．45

7. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

8. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=3^0.3•f（3^0.3），b=（log_π3）•f（log_π3），c=（）•f（）．则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．c＞b＞a
D．a＞c＞b

二、解答题

9. 难度：中等

一个多面体的直观图和三视图（正视图、左视图、俯视图）如图所示，则三棱锥的体积为    ．

10. 难度：中等

二项展开式的常数项为     ．

11. 难度：中等

已知圆的直径AB=13cm，C是圆周上一点（不同于A，B点）CD⊥AB于D，CD=6cm，则BD=   

12. 难度：中等

若x∈A，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系集合的个数为    个．

13. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a+c=2b且，当△ABC的面积为时，b=    ．

14. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=1，AC=2，O为AC中点，抛物线的一部分在矩形内，点O为抛物线顶点，点B，D在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为     ．

15. 难度：中等

设函数f（x）=cos（2x+）+sin²x．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期．
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（）=-，且C为非钝角，求sinA．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

17. 难度：中等

如图，在三棱锥D-ABC中，△ADC，△ACB均为等腰直角三角形AD=CD=，∠ADC=∠ACB=90°，M为线段AB的中点，侧面ADC⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求异面直线BD与CM所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角A-CD-M的余弦值．

18. 难度：中等

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，选择哪个工程是随机的．
（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II）记X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，求X的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

若椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴的一个端点与左右焦点F₁、F₂组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F₂作直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，求直线MF₁的斜率k的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证[（n+1）！]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．