2009年辽宁省丹东市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

函数是（ ）
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为的奇函数

3. 难度：中等

的展开式中，常数项等于15，则实数a=（ ）
A．1
B．±1
C．2
D．±2

4. 难度：中等

对任意非零实数a、b，规定a⊗b的运算原理如图所示，则=（ ）

A．
B．
C．1
D．-1

5. 难度：中等

已知、是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ，μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（ ）
A．λ+μ=1
B．λ-μ=1
C．λμ=-1
D．λμ=1

6. 难度：中等

一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）
A．48cm²
B．80cm²
C．100cm²
D．144cm²

7. 难度：中等

与直线x-y-4=0和圆x²+y²+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（ ）
A．（x+1）²+（y+1）²=2
B．（x+1）²+（y+1）²=4
C．（x-1）²+（y+1）²=2
D．（x-1）²+（y+1）=4

8. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₇=170，则a₇+a₉+a₁₁的值为（ ）
A．10
B．20
C．25
D．30

9. 难度：中等

已知点（x，y）满足约束条件，若函数f（x）=log_a（x²+1）（a＞0且a≠1）图象通过的定点是（m，n），则的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．4

10. 难度：中等

过双曲线的左焦点F（-c，0）（c＞0）作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若（O是坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.80，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是（ ）
A．0.75
B．0.60
C．0.48
D．0.20

12. 难度：中等

已知函数，函数-2a+2（a＞0），若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

正四棱椎P-ABCD的顶点都在同一个球面上，若底面ABCD的外接圆是球的大圆，异面直线PA与BC所成的角是     ．

14. 难度：中等

=    ．

15. 难度：中等

抛物线x²=4y准线上任一点R作抛物线的两条切线，切点分别为M、N，若O是坐标原点，则=    ．

16. 难度：中等

函数f（x）=x-2+log₂（a-2^x）存在零点，则实数a的取值范围是     ．

17. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA₁=1，AB=2，P为线段AB上的动点．
（I）求证：CA₁⊥C₁P；
（II）若四面体P-AB₁C₁的体积为，求二面角C₁-PB₁-A₁的余弦值．

18. 难度：中等

已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（I）若a=7，△ABC的面积，求b、c的值；
（II）若，，求的值．

19. 难度：中等

某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．
（I）估计这次测试数学成绩的平均分；
（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

20. 难度：中等

点M在椭圆（a＞b＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．
（I）若圆M与y轴相交于A、B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点F（1，0），设过点F的直线l交椭圆于C、D两点，若直线l绕点F任意转动时，恒有|OC|²+|OD|²＜|CD|²成立，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

设曲线C：f（x）=lnx-ex（e=2.71828…），f′（x）表示f（x）导函数．
（I）求函数f（x）的极值；
（II）数列{a_n}满足a₁=e，．求证：数列{a_n}中不存在成等差数列的三项．

22. 难度：中等

如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，圆心P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F．
（I）求证：四点B、P、E、F共圆；
（II）若CD=2，，求出由四点B、P、E、F所确定圆的直径．

23. 难度：中等

直线l方程是x+2y+3=0，曲线C的极坐标方程是．
（1）分别求直线l和曲线C的参数方程；
（2）求直线l和曲线C交点的直角坐标．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=2x+1．
（I）解不等式；
（II）若x≠0，求证：．