2009-2010学年江苏省南京师大二附中高三（下）4月月考数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=    ．

2. 难度：中等

已知虚数z满足等式：，则z=    ．

3. 难度：中等

函数y=1-sin²（）的最小正周期是    ．

4. 难度：中等

某算法的伪代码如图：则输出的结果是     ．

5. 难度：中等

已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的    ．条件．

6. 难度：中等

已知直线y=x+2与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为    ．

7. 难度：中等

已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第    象限．

8. 难度：中等

设，则不等式f（m）+f（m²-2）≥0（m∈R）成立的充要条件是    ．（注：填写m的取值范围）

9. 难度：中等

集合A={（x，y）|y≥|x-1|}，集合B={（x，y）|y≤-x+5}．先后掷两颗骰子，设掷第-颗骰子得点数记作a，掷第二颗骰子得点数记作b，则（a，b）∈（A∩B）的概率等于    ．

10. 难度：中等

圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：x²+y²-2x-2y+1=0的公共弦所在直线被圆C₃：所截得的弦长是    ．

11. 难度：中等

若实数x、y满足4^x+4^y=2^x+1+2^y+1，则S=2^x+2^y的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知f（x）=ax+，若-3≤f（1）≤0，3≤f（2）≤6，则f（3）的取值范围为     ．

13. 难度：中等

△ABC内接于以O为圆心半径为1的圆，且，则△ABC的面积S=    ．

14. 难度：中等

设函数，A为坐标原点，A_n为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）的点，向量，向量i=（1，0），设θ_n为向量a_n与向量i的夹角，则满足的最大整数n是    ．

15. 难度：中等

已知A，B是△ABC的两个内角，=cos+sin（其中，是互相垂直的单位向量），若||=．
（1）试问tanA•tanB是否为定值，若是定值，请求出，否则说明理由；
（2）求tanC的最大值，并判断此时三角形的形状．

16. 难度：中等

如图所示，已知圆E：x²+（y-1）²=4交x轴分别于A，B两点，交y轴的负半轴于点M，过点M作圆E的弦MN．
（1）若弦MN所在直线的斜率为2，求弦MN的长；
（2）若弦MN的中点恰好落在x轴上，求弦MN所在直线的方程；
（3）设弦MN上一点P（不含端点）满足PA，PO，PB成等比数列（其中O为坐标原点），试探求的取值范围．

17. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为．
（1）求A₁A的长；
（2）在线段BC₁上是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，求线段A₁P的长，如果不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

某国由于可耕地面积少，计划从今年起的五年填湖围造一部分生产和生活用地，若填湖费、购置排水设备费等所需经费与当年所填湖造地面积x（亩）的平方成正比，其比例系数为a，设每亩水面的年平均经济效益为b元，填湖造地后的每亩土地的年平均收益为c元（其中a，b，c均为常数）．
（1）若按计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值．
（2）如果填湖造地面积按每年1%的速度减少，为保证水面的畜洪能力和环保要求，填湖造地的总面积不能超过现有水面面积的25%，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几．
注：根据下列近似值进行计算：
0.99²≈0.98，0.99²≈0.97，0.99⁴≈0.96，0.99⁵≈0.95，0.99⁶≈0.94，0.99⁷≈0.93．

19. 难度：中等

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，；
（1）求a_n；
（2）令，，求{c_n}的前n项和T_n；
（3）令（λ、q为常数，q＞0且q≠1），c_n=3+n+（b₁+b₂+…+b_n），是否存在实数对（λ、q），使得数列{c_n}成等比数列？若存在，求出实数对（λ、q）及数列{c_n}的通项公式，若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x+2x²-3x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；
（3）当时，若关于x的不等式恒成立，试求实数a的取值范围．