2010年上海市长宁区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设i为虚数单位，则复数=    ．

2. 难度：中等

若函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，-1），则a=    ．

3. 难度：中等

=    ．

4. 难度：中等

执行下边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=    ．

5. 难度：中等

函数图象的顶点是（b，c），且a，b，c，d成等比数列，ad=    ．

6. 难度：中等

已知集合A={x|log₂x≤2}，B=（-∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是    ．

7. 难度：中等

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E为AA₁中点，则异面直线BE与CD₁所形成角的余弦值为    ．

8. 难度：中等

已知展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=    ．

9. 难度：中等

已知实数x、y满足条件则x-3y的最大值为    ．

10. 难度：中等

投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m，n，设，则满足的概率为    ．

11. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积是    ．

12. 难度：中等

从抛物线y²=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为    ．

13. 难度：中等

棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA₁、DD₁的中点，则直线EF被球O截得的线段长为    ．

14. 难度：中等

已知函数若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

不等式|2-x|≤1的解集是（ ）
A．[-3，-1]
B．[1，3]
C．[-3，1]
D．[-1，3]

16. 难度：中等

已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

17. 难度：中等

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的任意一点，则|PF₁|•|PF₂|的最大值是（ ）
A．9
B．16
C．25
D．

18. 难度：中等

函数y=m|x|与在同一坐标系的图象有公共点的充要条件是（ ）
A．
B．
C．m≥1
D．m＞1

三、解答题

19. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+（b-2）x+3（a≠0），若不等式f（x）＞0的解集为（-1，3）．
（1）求a，b的值；
（2）若函数f（x）在x∈[m，1]上的最小值为1，求实数m的值．

20. 难度：中等

设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，，与的夹角为
（1）求角C的大小；
（2）已知，△ABC的面积，求a+b的值．

21. 难度：中等

设数列{a_n}中，若a_n+1=a_n+a_n+2，（n∈N^*），则称数列{a_n}为“凸数列”．
（1）设数列{a_n}为“凸数列”，若a₁=1，a₂=-2，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（2）在“凸数列”{a_n}中，求证：a_n+3=-a_n，n∈N^*；
（3）设a₁=a，a₂=b，若数列{a_n}为“凸数列”，求数列前2010项和S₂₀₁₀．

22. 难度：中等

在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N．若．
（1）求证：x与y的关系为；
（2）设，定义在R上的偶函数F（x），当x∈[0，1]时F（x）=f（x），且函数F（x）图象关于直线x=1对称，求证：F（x+2）=F（x），并求x∈[2k，2k+1]（k∈N）时的解析式；
（3）在（2）的条件下，不等式F（x）＜-x+a在x∈[2k，2k+1]（k∈N）上恒成立，求实数a的取值范围．

23. 难度：中等

已知双曲线C：的一个焦点是F₂（2，0），且．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设经过焦点F₂的直线l的一个法向量为（m，1），当直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3（x-1）²-y²=3上．
（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由．