2010年北京市顺义区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²＜1}，集合B={x|log₂x＜0}，则A∩B=（ ）
A．（0，1）
B．（-1，0）
C．（-1，1）
D．（-∞，1）

2. 难度：中等

已知复数z=1+2i，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₂=，a₃=，a_k=，则k=（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

4. 难度：中等

已知向量=（3cosα，2），=（3，4sinα），且∥，则锐角α等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x²+y²=1相交”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．即不充分也不必要条件

6. 难度：中等

阅读下面的程序框图，执行相应的程序，则输出的结果是（ ）

A．4
B．5
C．6
D．7

7. 难度：中等

以双曲线的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在圆x²+y²-5y=0内，过点作n条弦（n∈N⁺），它们的长构成等差数列{a_n}，若a₁为过该点最短的弦，a_n为过该点最长的弦，且公差，则n的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

二、解答题

9. 难度：中等

在总体为N的一批零件中，抽取一个容量为40的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N的值为    ．

10. 难度：中等

已知向量与向量，则与的夹角为     ．

11. 难度：中等

已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为    ．

12. 难度：中等

函数，则不等式f（x）＞2的解集是     ．

13. 难度：中等

如图所示，墙上挂有一长为2π宽为2的矩形木板ABCD，它的阴影部分是由y=sinx，的图象和直线y=1围成的图形，某人向此板投飞镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每一点的可能性相同，则他击中阴影部分的概率是     ．

14. 难度：中等

某同学在研究函数（x∈R）时，分别给出下面几个结论：
（1）函数f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）的值域为（-1，1）；
（3）函数f（x）在R上是增函数；
（4）函数g（x）=f（x）-b（b为常数，b∈R）必有一个零点．
其中正确结论的序号为    ．（把所有正确结论的序号都填上）

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如果函数g（x）=f（x）f（-x），求函数g（x）的最小正周期和最大值；

16. 难度：中等

甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取5次，绘制成茎叶图如下

Ⅰ．从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，用列举法计算甲的成绩比乙高的概率；
Ⅱ．现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．

17. 难度：中等

一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，（其中D为A₁B₁的中点）
（Ⅰ）求证：C₁D⊥平面ABB₁A₁
（Ⅱ）当点F在棱BB₁上的什么位置时，有AB₁⊥平面C₁DF，请证明你的结论
（Ⅲ）对（2）中确定的点F，求三棱锥B₁-C₁DF的体积．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+a（x-1）（a为常数，a∈R）．
（Ⅰ）若x=1时，函数f（x）取得极大值，求实数a的值；
（Ⅱ）若不等式f′（x）≥-2x在函数定义域上恒成立，（其中f′（x）为f（x）的导函数）求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知：椭圆（a＞b＞0）过（0，1）点，离心率；直线l：y=kx+m（m＞0）与圆O：x²+y²=1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B，（O为坐标原点）．
Ⅰ．求椭圆C的方程及m与k的关系式m=f（k）；
Ⅱ．设=θ，且满足，，求直线l的方程；
Ⅲ．在Ⅱ．的条件下，求三角形AOB的面积．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点P（S_n，a_n）在直线（2-m）x+2my-m-2=0上，其中m为常数，且m＞0．
（Ⅰ）求证：{a_n}是等比数列，并求其通项a_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n=f（b_n-1），（n∈N⁺，n≥2），求证：是等差数列，并求b_n；
（Ⅲ）设数列{c_n}满足c_n=b_nb_n+1，T_n为数列{c_n}的前n项和，且存在实数T满足T_n≥T，（n∈N⁺）求T的最大值．