1965年全国统一高考数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积．

2. 难度：中等

在A处的甲船测得乙船在北偏西49°48′的B处，以速度22里/小时向正北方向行驶，甲船立即从A处出发，以速度26里/小时向北偏西α度的方向沿直线驶去追赶乙船，问α是多大角度时，经过一段时间甲船能够在某C处恰好与乙船相遇？（lg2.2=0.3424，lg2.6=0.4150）

3. 难度：中等

把地球看作半径为R的球，设A、B两地纬度相同，都是α度，它们的经度相差β度（0＜β≤180°），求A、B两地之间的球面距离．

4. 难度：中等

（1）证明|sin2x|≤2|sinx|；（x为任意值）
（2）已知n为任意正整数，用数学归纳法证明|sinnx|≤n|sinx|．（x为任意值）

5. 难度：中等

已知一点P的坐标是（4，-2），直线L的方程是y-x+5=0，曲线C的方程是，求经过P点而与L垂直的直线和曲线C的交点的坐标．

6. 难度：中等

当P是什么实数时，方程x²+px-3=0与方程x²-4x-（p-1）=0有一公共根？

7. 难度：中等

已知抛物线y²=2x．
（1）在抛物线上任取二点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），经过线段P₁P₂的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P₃，证明△P₁P₂P₃的面积为；
（2）经过线段P₁P₃、P₂P₃的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q₁、Q₂，试将△P₁P₃Q₁与△P₂P₃Q₂的面积和用y₁，y₂表示出来；
（3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出线段P₁P₂与抛物线所围成的图形的面积．

8. 难度：中等

（1）已知a，b，c为实数，证明a，b，c均为正整数的充要条件是；
（2）已知方程x³+px²+qx+r=0的三根α，β，γ都是实数，证明α，β，γ是一个三角形的三边的充要条件是．