2009-2010学年江苏省扬州市高邮二中高三第一次段考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3的三个大小相同的小球，现从这个盒子中，有放回地先后取得两个小球，其标号分别为x、y，记ξ=|x-2|+|x-y|．
（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

2. 难度：中等

（1）已知某圆的极坐标方程为：ρ2-42ρcos（θ-π4）+6=0．将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程．
（2）已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e₁=，且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成
（-2，4）．求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系．

3. 难度：中等

对于定义域为[0，1]的函数f（x）如果满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2成立．则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断函数g（x）=2^x+1 （0≤x≤1）是否为理想函数，并予以证明；
（2）求定义域为[0，1]的理想函数f（x）的最大值和最小值；
（3）某同学发现：当x=（n∈N）时，有f（）≤+2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你根据该同学发现的结论（或其它方法）来判断此猜想是否正确，并说明理由．

4. 难度：中等

设P和Q是两个集合，定义集合P-Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|log₂x＜1}，Q={x||x-2|＜1}，那么P-Q等于     ．

5. 难度：中等

条件p：“m＜-2”和条件q：“方程x²-2x-m=0无实根”，则p是q的     条件．

6. 难度：中等

已知命题：“∃x∈[1，2]，使x²+2x+a≥0”为真命题，则a的取值范围是    ．

7. 难度：中等

已知集合M={，8}，N={a^b，1}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b的值为    

8. 难度：中等

已知复数z₁=3+4i，z₂=t+i，，且z₁•是实数，则实数t等于     ．

9. 难度：中等

对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300～500小时的数量是    个．

10. 难度：中等

若函数y=x²+（a+2）x+3，x∈[a，b]的图象关于直线x=1对称，则b=    ．

11. 难度：中等

现有2008年奥运会福娃卡片5张，卡片正面分别是贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮，每张卡片大小、质地和背面图案均相同，将卡片正面朝下反扣在桌子上，从中一次随机抽出两张，抽到贝贝的概率是     ．

12. 难度：中等

矩阵A=的一个特征值为λ，是A的属于特征值λ的一个特征向量，则A^-1=    ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t∈R），圆C的参数方程为（θ∈[0，2π]），则直线l截圆C所得的弦长为     ．

14. 难度：中等

对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：…．仿此，若m³的“分裂数”中有一个是59，则m的值为    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+px+q和g（x）=x+都是定义在区间A=[1，]上的函数．如果∀x∈A，∃x∈A使得f（x）≥f（x），g（x）≥g（x），且f（x）=g（x），则y=f（x）在区间A上的最大值等于     ．

16. 难度：中等

f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是    ．

17. 难度：中等

在实数集R中定义一种运算“*”，具有下列性质：
①对任意a，b∈R，a*b=b*a；
②对任意a∈R，a*0=a；
③对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（b*c）-2c，
则1*2=    ；函数f（x）=x*（x＞0）的最小值为    ．

18. 难度：中等

已知集合A={x|x²-2x-3≤0，x∈R}，B={x|x²-2mx+m²-4≤0，x∈R，m∈R}．
（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；
（2）若A⊆∁_RB，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查发现投入广告费t（百万元），可增加销售额约为-t²+5t（百万元）（0≤t≤5）．
（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x（百万元），可增加的销售额约为x³+x²+3x（百万元）．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？（注：收益=销售额-投放）．

20. 难度：中等

已知下表中的对数值有且只有两个是错误的．

x	1.5	3	5	6	7	8	9	14	27
lgx	3a-b+c	2a-b	a+c	1+a-b-c	2（a+c）	3（1-a-c）	2（2a-b）	1-a+2b	3（2a-b）

（1）假设上表中lg3=2a-b与lg5=a+c都是正确的，试判断lg6=1+a-b-c是否正确，给出判断过程；
（2）求证lg3的对数值是正确的；
（3）试将两个错误的对数值均指出来，并加以改正（不要求证明）